Sind die Schätzungen des Abschnitts und der Steigung bei einfacher linearer Regression unabhängig?

Betrachten Sie ein lineares Modell

$y_i= \alpha + \beta x_i + \epsilon_i$

und Schätzwerte für die Steigung und den Achsenabschnitt α und β unter Verwendung von gewöhnlichen kleinsten Quadraten. Diese Referenz für eine mathematische Statistik macht die Aussage , dass α und β unabhängig ist (in ihrem Beweis ihres Satzes).$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

Ich bin mir nicht sicher, warum. Schon seit

$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta} \bar{x}$

Nicht das , dass α und β korreliert? Ich vermisse hier wahrscheinlich etwas wirklich Offensichtliches.$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$

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https://onlinecourses.science.psu.edu/stat414/node/278

$\hat \alpha$$\hat \beta$

Für den Fall, dass die Koeffizienten mit einem nicht zentrierten Regressor geschätzt werden, ist ihre Kovarianz

$$\text{Cov}(\hat \alpha,\hat \beta) = -\sigma^2(\bar x/S_{xx}), \;\;S_{xx} = \sum (x_i^2-\bar x^2)$$

$\bar x$$\tilde x$$\tilde {\bar x}$

Dieser Beitrag enthält weitere Informationen zur einfachen linearen Regressions-OLS-Algebra.