Regression mit inverser unabhängiger Variable

Nehmen wir an, ich habe einen Vektor abhängiger Variablen und einen Vektor unabhängiger Variablen. Wenn gegen aufgetragen wird , sehe ich, dass zwischen beiden eine lineare Beziehung (Aufwärtstrend) besteht. Dies bedeutet nun auch, dass zwischen und ein linearer Abwärtstrend besteht .$N$$Y$$N$$X$$Y$$\frac{1}{X}$$Y$$X$

Wenn ich nun die Regression ausführe: und den angepassten Wert erhalte$Y = \beta * X + \epsilon$$\hat{Y} = \hat{\beta}X$

Dann führe ich die Regression aus: und erhalte den angepassten Wert $Y = \alpha * \frac{1}{X} + \epsilon$$\tilde{Y} = \hat{\alpha} \frac{1}{X}$

Werden die beiden vorhergesagten Werte und ungefähr gleich sein?$\hat{Y}$$\tilde{Y}$

 Wenn Y gegen aufgetragen wird , sehe ich, dass zwischen beiden eine lineare Beziehung (Aufwärtstrend) besteht. Dies bedeutet nun auch, dass zwischen Y und X ein linearer Abwärtstrend besteht$\frac{1}{X}$

Der letzte Satz ist falsch: Es gibt einen Abwärtstrend, aber er ist keineswegs linear:

Ich habe ein als Funktion plus ein bisschen Rauschen auf . Wie Sie sehen können , ist gegen alles andere als linear , während das Zeichnen von gegen ein lineares Verhalten ergibt .$f(x) = \frac{1}{x}$$Y$$Y$$\frac{1}{X}$$Y$$X$

(@whuber weist darauf hin, dass das Diagramm gegen nicht homoskedastisch aussieht. Ich denke, es scheint eine höhere Varianz für niedriges da die viel höhere Falldichte zu einem größeren Bereich führt, was im Wesentlichen das ist, was wir tun wahrnehmen. Eigentlich sind die Daten homoskedastisch: Ich habe die Daten generiert, also keine Abhängigkeit von der Größe von )$Y$$\frac{1}{X}$$Y$Y = 1 / X + rnorm (length (X), sd = 0.1)$X$

Im Allgemeinen ist die Beziehung also sehr nicht linear. Das heißt, es sei denn, Ihr ist so eng, dass SieHier ist ein Beispiel:d $X$$\frac{d \frac{1}{x}}{dx} = - \frac{1}{x^2} \approx const.$

Endeffekt:

• Im Allgemeinen ist es sehr schwierig, eine Funktion vom Typ durch eine lineare oder Polynomfunktion zu approximieren. Und ohne Offset-Term erhalten Sie nie eine vernünftige Annäherung.$\frac{1}{X}$
• Wenn das Intervall eng genug ist, um eine lineare Annäherung zu ermöglichen, können Sie anhand der Daten ohnehin nicht erraten, dass die Beziehung und nicht linear ( ) sein sollte.$X$$\frac{1}{X}$$X$

Ich sehe keinen Grund dafür, dass sie im Allgemeinen "ungefähr gleich" sind - aber was genau meinen Sie mit ungefähr gleich?

Hier ist ein Spielzeugbeispiel:

library(ggplot2)
n <- 10^3
df <- data.frame(x=runif(n, min=1, max=2))
df$y <- 5 / df$x + rnorm(n)
p <- (ggplot(df, aes(x=x, y=y)) +
      geom_point() +
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + x) +  # Blue, OP's y hat
      geom_smooth(method="lm", formula=y ~ 0 + I(x^-1), color="red"))  # Red, OP's y tilde
p

Das Bild:

Das "blaue" Modell würde viel besser abschneiden, wenn es einen Intercept-Term (dh einen konstanten) Term hätte ...