Berechnen Sie das Quantil der Summe der Verteilungen aus bestimmten Quantilen

Nehmen wir unabhängige Zufallsvariablen für die die Quantile auf einer bestimmten Ebene \ alpha durch Schätzung aus Daten bekannt sind: \ alpha = P (X_1 <q_1) , ..., \ alpha = P (X_N <q_N) . Definieren wir nun die Zufallsvariable Z als die Summe Z = \ sum_ {i = 1} ^ N X_i . Gibt es eine Möglichkeit, den Wert des Quantils der Summe auf der Ebene \ alpha zu berechnen , dh q_z in \ alpha = P (Z <q_Z) ?$N$$X_1, ..., X_N$$\alpha$$\alpha = P(X_1 < q_1)$$\alpha = P(X_N < q_N)$$Z$$Z = \sum_{i=1}^N X_i$$\alpha$$q_z$$\alpha = P(Z < q_Z)$

Ich denke , dass in bestimmten Fällen, wie wenn $X_i$ folgt eine Gaußsche Verteilung $\forall i$ so einfach ist, aber ich bin nicht so sicher , für den Fall, dass die Verteilung der $X_i$ unbekannt ist. Irgendwelche Ideen?

$q_Z$ könnte alles sein.

Um diese Situation zu verstehen, lassen Sie uns eine vorläufige Vereinfachung vornehmen. Durch die Arbeit mit wir eine einheitlichere Charakterisierung$Y_i = X_i - q_i$

Das heißt, jedes hat die gleiche Wahrscheinlichkeit, negativ zu sein. weil$Y_i$

Die definierende Gleichung für ist äquivalent zu$q_Z$

mit .$q_Z = q_W + \sum_i q_i$

Was sind die möglichen Werte von ? Betrachten Sie den Fall, in dem alle mit aller Wahrscheinlichkeit dieselbe Verteilung auf zwei Werte haben, von denen einer negativ ( ) und der andere positiv ( ) ist. Die möglichen Werte der Summe sind auf für . Jedes davon tritt mit Wahrscheinlichkeit auf$q_W$$Y_i$$y_{-}$$y_{+}$$W$$ky_{-} + (n-k)y_{+}$$k=0, 1, \ldots, n$

Die Extreme können von gefunden werden

1. Wählen Sie und so dass ; und werden dies erreichen. Dies garantiert, dass negativ ist, außer wenn alle positiv sind. Diese Chance entspricht . Es überschreitet wenn , was bedeutet, dass das Quantil von streng negativ sein muss.$y_{-}$$y_{+}$$y_{-} + (n-1)y_{+} \lt 0$$y_{-}=-n$$y_{+}=1$$W$$Y_i$$1 - (1-\alpha)^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

2. Wählen Sie und so dass ; und werden dies erreichen. Dies garantiert, dass nur dann negativ ist, wenn alle negativ sind. Diese Chance entspricht . Es ist kleiner als wenn , was bedeutet, dass das Quantil von streng positiv sein muss.$y_{-}$$y_{+}$$(n-1) y_{-} + y_{+} \gt 0$$y_{-}=-1$$y_{+}=n$$W$$Y_i$$\alpha^n$$\alpha$$n\gt 1$$\alpha$$W$

Dies zeigt, dass das Quantil von entweder negativ oder positiv sein kann, aber nicht Null ist. Wie groß könnte es sein? Es muss einer ganzzahligen linearen Kombination von und . Wenn Sie diese beiden Werte ganzzahlig machen, wird sichergestellt, dass alle möglichen Werte von ganzzahlig sind. Wenn wir mit einer beliebigen positiven Zahl skalieren , können wir garantieren, dass alle integralen linearen Kombinationen von und ganzzahlige Vielfache von . Da , muss es mindestens groß sein . Folglich,$\alpha$$W$$y_{-}$$y_{+}$$W$$y_{\pm}$$s$$y_{-}$$y_{+}$$s$$q_W \ne 0$$s$Die möglichen Werte von (und woher ) sind unbegrenzt,$q_W$$q_Z$ egal was gleich sein mag.$n\gt 1$

Die einzige Möglichkeit, Informationen über abzuleiten , besteht darin, die Verteilungen des spezifisch und stark , um die Art der unausgeglichenen Verteilungen zu verhindern und zu begrenzen, die zur Ableitung dieses negativen Ergebnisses verwendet werden.$q_Z$$X_i$