Positionieren der Pfeile auf einem PCA-Biplot

Ich möchte einen Biplot für die Hauptkomponentenanalyse (PCA) in JavaScript implementieren. Meine Frage ist, wie ermittle ich die Koordinaten der Pfeile aus dem $U,V,D$ Ausgang der Singular Vector Decomposition (SVD) der Datenmatrix?

Hier ist ein Beispiel-Biplot von R:

biplot(prcomp(iris[,1:4]))

Ich habe versucht, es im Wikipedia-Artikel über Biplot nachzuschlagen, aber es ist nicht sehr nützlich. Oder richtig. Ich weiß nicht was.

Es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, einen PCA-Biplot zu erstellen. Daher gibt es keine eindeutige Antwort auf Ihre Frage. Hier ist eine kurze Übersicht.

Wir gehen davon aus, dass die Datenmatrix hat n Datenpunkte in Reihen und zentriert ist (dh Spalte Mittel sind alle null). Vorerst können wir nicht davon ausgehen , dass es standardisiert, dh wir betrachten PCA auf Kovarianzmatrix (nicht auf Korrelationsmatrix). PCA entspricht einer Singulärwertzerlegung X = U S $\mathbf X$$n$ meine Antwort finden Sie hier für Details:Beziehung zwischen SVD und PCA. Wie verwende ich SVD, um PCA durchzuführen?

In einem PCA-Biplot sind zwei erste Hauptkomponenten als Streudiagramm aufgetragen, dh die erste Spalte von ist gegen die zweite Spalte aufgetragen. Normalisierung kann aber auch anders sein; zB kann man benutzen:$\mathbf U$

1. Spalten von : Dies sind Hauptkomponenten, die auf die Einheitssumme der Quadrate skaliert sind.$\mathbf U$
2. Spalten von : Dies sind standardisierte Hauptkomponenten (Einheitsvarianz);$\sqrt{n-1}\mathbf U$
3. Spalten von : das sind „raw“ Hauptkomponenten (Projektionen auf Hauptrichtungen).$\mathbf{US}$

Ferner sind Originalvariablen als Pfeile dargestellt; dh Koordinaten eines i- ten Pfeilendpunkts werden durch den i- ten Wert in der ersten und zweiten Spalte von gegeben$(x,y)$$i$$i$ . Aber auch hier kann man verschiedene Normalisierungen wählen, zB:$\mathbf V$

1. Spalten von : Ich weiß nicht, was eine Interpretation hier sein könnte;$\mathbf {VS}$
2. Spalten von : das sind Ladungen;$\mathbf {VS}/\sqrt{n-1}$
3. Spalten von : Dies sind Hauptachsen (aka Hauptrichtungen, aka Eigenvektoren).$\mathbf V$

So sieht das alles für den Fisher Iris-Datensatz aus:

$9$$\mathbf X$$\mathbf{US}^\alpha \beta$$\mathbf{VS}^{(1-\alpha)} / \beta$$9$ sind "richtige Biplots": nämlich eine Kombination eines Unterplots von oben mit dem direkt darunter.

[Unabhängig von der verwendeten Kombination kann es erforderlich sein, die Pfeile mit einem beliebigen konstanten Faktor zu skalieren, sodass sowohl die Pfeile als auch die Datenpunkte ungefähr auf derselben Skala angezeigt werden.]

$\mathbf{VS}/\sqrt{n-1}$$\mathbf U\sqrt{n-1}$

Diese [besondere Wahl] dürfte eine äußerst nützliche grafische Hilfe bei der Interpretation multivariater Beobachtungsmatrizen darstellen, vorausgesetzt natürlich, dass diese auf Rang zwei angemessen angenähert werden können.

$\mathbf{US}$$\mathbf{V}$ .

$\mathbf {US}$ Visualisierung einer Million, PCA-Ausgabe - es zeigt PCA des Wein-Datensatzes.

biplot$\mathbf U$$\mathbf{VS}$biplot$0.8$biplot$n/(n-1)$$1$Pfeile der zugrunde liegenden Variablen im PCA-Biplot in R. )

PCA auf Korrelationsmatrix

$\mathbf X$$1$

$1$$R=1$

Weitere Lektüre:

• PCA- und Korrespondenzanalyse in Bezug auf Biplot - detaillierte Behandlung durch @ttnphns.
• Was ist das richtige Assoziationsmaß einer Variablen mit einer PCA-Komponente (auf einem Biplot / Ladeplot)? - geometrische Erklärung der Bedeutung der Ladepfeile auf einem Biplot durch @ttnphns.