Wie berechnet man das Vorhersageintervall für eine OLS-Mehrfachregression?

Wie lautet die algebraische Notation zur Berechnung des Vorhersageintervalls für die multiple Regression?

Es klingt albern, aber ich habe Probleme, eine klare algebraische Notation dafür zu finden.

Nehmen Sie ein Regressionsmodell mit Beobachtungen und Regressoren: $N$$k$

$$\mathbf{y=X\beta+u} \newcommand{\Var}{\rm Var}$$

Unter der Annahme eines Vektors der vorhergesagte Wert für diese Beobachtung E [y \ vert \ mathbf {x_0}] = \ hat y_0 = \ mathbf {x_0} \ hat \ beta. Ein konsistenter Schätzer für die Varianz dieser Vorhersage ist \ hat V_p = s ^ 2 \ cdot \ mathbf {x_0} \ cdot (\ mathbf {X'X}) ^ {- 1} \ mathbf {x'_0}, wobei s ^ 2 = \ frac {\ Sigma_ {i = 1} ^ {N} \ hat u_i ^ 2} {Nk}. Der Vorhersagefehler für ein bestimmtes y_0 ist \ hat e = y_0- \ hat y_0 = \ mathbf {x_0} \ beta + u_0- \ hat y_0. Die Null-Kovarianz zwischen u_0 und \ hat \ beta impliziert, dass \ Var [\ hat e] = \ Var [\ hat y_0] + \ Var [u_0] ist, und ein konsistenter Schätzer dafür ist $\mathbf{x_0}$

$$E[y \vert \mathbf{x_0}]=\hat y_0 = \mathbf{x_0} \hat \beta.$$ V p = s 2 ⋅ x 0 ⋅( X ' X ) - 1 x ' 0 , s 2 = Σ N i = 1 u 2 i $$\hat V_p=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0},$$ $$s^2=\frac{\Sigma_{i=1}^{N} \hat u_i^2}{N-k}.$$ $y_0$ e =y0- $$\hat e=y_0-\hat y_0=\mathbf{x_0}\beta+u_0-\hat y_0.$$ $u_0$$\hat \beta$ $$\Var[\hat e]=\Var[\hat y_0]+\Var[u_0],$$ $$\hat V_f=s^2 \cdot \mathbf{x_0} \cdot(\mathbf{X'X})^{-1}\mathbf{x'_0} + s^2.$$

Das $1-\alpha$ $\rm confidence$ ist:

$$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{p}}.$$ Das $1-\alpha$ $\rm prediction$ ist breiter: $$y_0 \pm t_{1-\alpha/2}\cdot \sqrt{\hat V_{f}}.$$