Unterscheidet sich die Anpassung des Cox-Modells mit Schichten- und Schicht-Kovariaten-Interaktion von der Anpassung zweier Cox-Modelle?

In Regressionsmodellierungsstrategien von Harrell (zweite Ausgabe) wird in Abschnitt (S. 20.1.7) auf Cox-Modelle eingegangen, einschließlich einer Wechselwirkung zwischen einer Kovariate, deren Haupteffekt auf das Überleben ebenfalls geschätzt werden soll (Alter im folgenden Beispiel), und a Kovariate, deren Haupteffekt wir nicht einschätzen wollen (Geschlecht im Beispiel unten).

Konkret: Nehmen wir an, dass in einer Population die (unbekannte, wahre) Gefahr dem Modell folgt$h(t)$

$$h(t) = \begin{cases} h_f(t) \exp(\beta_1 \textrm{age}), & \textrm{for female patiens} \\ h_m(t) \exp((\beta_1 + \beta_2) \textrm{age}), & \textrm{for male patiens} \end{cases}$$ wo , unbekannt sind, wahr, nicht geschätzt Basis - Hazard - Funktionen und wird , unbekannt sind, wahre Parameter geschätzt werden aus den Daten.$h_f$$h_m$$\beta_1$$\beta_2$

(Dieses Beispiel stammt fast wörtlich aus dem Buch.)

Nun bemerkt Harrell, dass die obige Situation als geschichtetes Cox-Modell Modell 1 umgeschrieben werden kann :

$$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t) \exp(\beta_1 \textrm{age} + \beta_2 X)$$ wobei der 'Interaktionsterm' für Frauen gleich Null und für Männer gleich Alter ist. Dies ist praktisch, da wir die Standardtechnik zum Schätzen von und .$X$$\beta_1$$\beta_2$

Nun zur Frage. Angenommen, zwei Forscher A und B erhalten dieselbe Stichprobe von Patienten aus der oben beschriebenen Population. Forscher A passt Modell 1 an und erhält Schätzungen , für die wahren Parameter zusammen mit Konfidenzintervallen.$\hat{\beta}_1$ β 2β1,& bgr;2$\hat{\beta}_2$$\beta_1, \beta_2$

Forscher B geht den naiveren Weg, zwei gewöhnliche (dh unzufriedene) Cox-Modelle anzupassen: Modell 2a:

$$h(t) = h_f(t)\exp(\gamma_1 \textrm{age})$$ für die weiblichen Patienten in der Stichprobe und Modell 2b: $$h(t) = h_m(t)\exp(\gamma_2 \textrm{age})$$ bei den männlichen Patienten in der Stichprobe. So werden Schätzungen $\hat{\gamma_1}$ , $\hat{\gamma_2}$ der wahren Parameter $\beta_1, \beta_1 + \beta_2$ zusammen mit Konfidenzintervallen erhalten.

Frage:

• Sind diese Schätzungen notwendigerweise gleich (in dem Sinne, dass $\hat{\beta}_1 = \hat{\gamma}_1$ , $\hat{\beta}_2 = \hat{\gamma}_2 - \hat{\gamma}_1$ )? (Denken Sie daran, dass beide Forscher dieselben Daten betrachten.)
• Sind die Konfidenzintervalle unbedingt gleich?
• Ist es sinnvoll zu sagen, dass der Forscher A einen psychologischen Vorteil gegenüber dem Forscher B hat, wenn , weil der Forscher A dies dann eher vermutet und zum Schätzen des sparsameren Modells ?$\beta_2 = 0$$h(t) = h_{\textrm{gender}}(t)\exp(\beta_1 \textrm{age})$

Mit Modellen, bei denen jeder Parameter geschätzt werden muss (wie bei gewöhnlichen kleinsten Quadraten), ist es möglich, eine Situation zu erstellen, in der zwei separate Modelle die gleichen Schätzungen eines einzelnen mit einem Interaktionsterm haben. Zum Beispiel könnten wir haben: , zusammengefasst durch: , so dass Sie könnten Schätzen Sie direkt den Geschlechtsunterschied sowohl im Achsenabschnitt als auch in der Steigung. Tatsächlich: . In diesem Fall stimme ich Ihnen zu, dass das einzigartige Modell eine unmittelbare Vorstellung vom Geschlechtsunterschied (gegeben durch die Interaktionsparameter$Y_M=\alpha_M+\beta_M*age$$Y_F=\alpha_F+\beta_F*age$$Y=\lambda+\lambda_F*F+\gamma*age+\gamma_F*F*age$$\alpha_M=\lambda, \beta_M=\gamma, \alpha_F-\alpha_M=\lambda_F,\beta_F-\beta_M=\gamma_F$$\lambda_F$, da die Steigungsdifferenz deutlicher interpretiert wird und sich Ihre Frage darauf bezieht). Beim Cox-Modell ist das jedoch anders. Erstens kann es einen Grund geben, wenn wir das Geschlecht nicht in die Regression einbeziehen, dh, dass die Proportional-Hazard-Annahme nicht erfüllt wird. Wenn wir ein eindeutiges Modell mit Geschlecht als Interaktionsbegriff erstellen, gehen wir von einer gemeinsamen (es sei denn, ich habe die Bedeutung von falsch verstanden ), während die beiden Modelle voneinander Der Ansatz ermöglicht zwei separate Grundlinien-Gefährdungsfunktionen, weshalb unterschiedliche Modelle impliziert werden. $h_{\textrm{gender}}(t)$

Siehe zum Beispiel das Kapitel "Survival Analysis" von Kleinbaum und Klein, 2012, Teil der Reihe Statistics for Biology and Health.