Berechnung der kanonischen Verknüpfungsfunktion in GLM

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Ich dachte, dass die kanonische Verknüpfungsfunktion aus dem natürlichen Parameter der Exponentialfamilie stammt. Angenommen, betrachten Sie die Familie then ist die kanonische Verknüpfungsfunktion. Nehmen wir als Beispiel die Bernoulli-Verteilung , wir haben Die kanonische Verknüpfungsfunktiong()

f(y,θ,ψ)=exp{yθb(θ)a(ψ)c(y,ψ)}
θ=θ(μ)
P(Y=y)=μy(1μ)1y=exp{ylogμ1μ+log(1μ)}
g(μ)=logμ1μ

Aber wenn ich diese Folie sehe , behauptet sie, dass obwohl sie für diese bestimmte Verteilung (und einige andere Verteilungen, wie die Poisson-Verteilung) leicht überprüft werden kann. Ich kann die Äquivalenz für den allgemeinen Fall nicht erkennen. Kann jemand Hinweise geben? Danke ~

g(μ)=1V(μ)
Ziyuang
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Antworten:

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Die Varianzfunktion für die Bernoulli-Variable ist . Wir überprüfen dies leicht mit dem kanonischen Link dann V(μ)=μ(1μ)g(μ)=logμ1μ=logμlog(1μ)

g(μ)=1μ+11μ=1μ+μμ(1μ)=1μ(1μ)=1V(μ).

Für den allgemeinen Fall leitet man sich aus der Definition ab, dass siehe z. B. Seite 28-29 in McCullagh und Nelder . Mit der kanonischen Verbindung haben wir , und die Varianzfunktion ist definiert als , was in Bezug auf zu Durch Differenzierung der Identität wir

E(Y)=μ=b(θ) and Var(Y)=b(θ)a(ψ),
gθ=g(μ)=g(b(θ))b(θ)μ
V(μ)=b(g(μ)).
θ=g(b(θ))
1=g(b(θ))b(θ)=g(μ)V(μ),

Bei der Konstruktion von Quasi-Wahrscheinlichkeitsfunktionen ist es natürlich, mit der Beziehung zwischen dem Mittelwert und der Varianz zu beginnen, die als Varianzfunktion . In diesem Zusammenhang kann das Anti-Derivat von als Verallgemeinerung der Verknüpfungsfunktion interpretiert werden, siehe beispielsweise die Definition der (log) Quasi-Wahrscheinlichkeit auf Seite 325 (Formel 9.3) ) in McCullagh und Nelder . VV(μ)1

NRH
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Vielen Dank, dass Sie @NRH. Eigentlich kenne ich die Äquivalenz für die Bernoulli-Verteilung. Ich frage mich den allgemeinen Fall. Und danke für Ihre Referenz, ich werde es überprüfen :)
Ziyuang
@ziyuang, der allgemeine Fall ist jetzt enthalten.
NRH
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@NRH - nur um diese Antwort zu ergänzen, können die Mittel- und Varianzformeln abgeleitet werden, indem die Gleichung auf beiden Seiten in Bezug auf (oder äquivalent differenziert wird ). Die erste Ableitung gibt Ihnen den Mittelwert, die zweite die Varianz. f(y,θ,ψ)dy=1θμ
Wahrscheinlichkeitslogik
Vielen Dank. Und ich habe einen anderen Referenzlink gefunden: fedc.wiwi.hu-berlin.de/xplore/ebooks/html/spm/…
ziyuang