Reicht es bei der Neuparametrierung einer Wahrscheinlichkeitsfunktion aus, nur die transformierte Variable anstelle einer Änderung der Variablenformel einzufügen?

Angenommen, ich versuche, eine Wahrscheinlichkeitsfunktion, die exponentiell verteilt ist, neu zu parametrisieren. Wenn meine ursprüngliche Wahrscheinlichkeitsfunktion lautet:

$$p(y \mid \theta) = \theta e^{-\theta y}$$

und ich möchte es mit neu parametrisieren , da keine Zufallsvariable ist, sondern ein Parameter, reicht es aus, nur einstecken?$\phi = \frac{1}{\theta}$$\theta$

Was ich explizit meine ist:

$$p\left(y \mid \phi = \frac{1}{\theta}\right) = \frac{1}{\phi} e^{-\frac{1}{\phi} y}$$

Wenn ja, bin ich mir nicht sicher, was die Theorie dahinter ist. Mein Verständnis ist, dass die Wahrscheinlichkeitsfunktion eine Funktion des Parameters ist. Warum ich also keine Formel zur Änderung von Variablen verwenden muss, verwirrt mich. Jede Hilfe wäre sehr dankbar, danke!

Sie brauchen keinen Jacobi in Ihrer Transformation, da es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung auf und nicht auf . Es muss in in eins integriert werden , unabhängig davon, ob Sie oder : Nur wenn Sie ein (Bayes'sches) Maß auf einfügen, erscheint der Jacobi. Das heißt, wenn ist der Stand auf , dann ist die posterior Dichte von IS und die posteriore Dichte von ist $y$$\theta$$y$$\theta$$\phi$

$$\int p(y|\theta)\text{d}y = \int p(y|\phi)\text{d}y = 1$$ $\theta$$p(\theta)$$\theta$$\theta$ $$p(\theta|y)\propto p(\theta) p(y|\theta)$$ $\phi$ $$p(\phi|y)\propto p(y|\phi)p(\phi)=p(y|\theta(\phi))p(\theta(\phi))\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|\propto p(\theta(\phi)|y)\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$$ Dabei handelt es sich um das Jacobian.$\left|\frac{\partial \theta}{\partial \phi}\right|$