Was ist der Unterschied zwischen stochastischem Regressor und nichtstochastischem Regressor bei der linearen Regression?

Angenommen , die Regressionsspezifikation ist egal stochastischen ist oder nicht, müssen wir die Annahme , dass ist für alle gleich verteilt . Wenn jedoch eher eine stochastische Zufallsvariable als ein fester Wert ist, ist eine andere Annahme erforderlich, nämlich, dass der Störungsterm keine bedingte Erwartung hat; Mit anderen Worten, wird unabhängig von .

$$y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\epsilon_i,$$ $x_i$$\epsilon_i$$i$$x_i$$\epsilon_i$$x_i$

Meine Frage ist, wie macht diese Annahme in der Praxis überhaupt einen Unterschied? Ich denke, in der Praxis gibt es keine Möglichkeit zu beurteilen, ob unabhängig oder abhängig von da wir nur eine Beobachtung von für jedes .$\epsilon_i$$x_i$$(x_i,y_i)$$i$

In der Praxis ist der Unterschied sehr groß. Die exogene Annahme, auf die Sie sich beziehen, erfordert, dass die Fehler nicht mit Regressoren korrelieren. Wenn sie korreliert sind, können Sie sich nicht auf die Regressionen mit stochastischen Regressoren verlassen.

Zum Beispiel kontrollieren Sie in Beobachtungsstudien, wie so ziemlich der gesamten Wirtschaft, die Regressoren nicht. Sie können das US-BIP nicht auf das gewünschte Niveau einstellen, sondern nur beobachten. In dem Modell, in dem das BIP ein Regressor ist, möchten Sie daher, dass Fehler unabhängig vom BIP sind, da Sie in diesem Modell nur stochastische Regressoren annehmen können.

Wenn Ihre Fehler mit Regressoren korrelieren, tritt ein Endogenitätsproblem auf. Es gibt Möglichkeiten, damit umzugehen, z. B. verzögerte Regressoren oder instrumentelle Variablen.

In der Ökonometrie ist ein Lehrbuchbeispiel die Auswirkung des exogenen Preises auf die Nachfrage. Wir sprechen von typischen Nachfrage-Angebot-Gleichungen. Hier besteht das Problem, dass die Preise auch vom Angebot abhängen. Daher gibt es ein Endogenitätsproblem, auf das jeder Ökonometriker umgehend hinweisen wird. Dies dient zur Beantwortung Ihrer Frage zur Durchführbarkeit des Testens der Annahme.

Sobald Sie herausgefunden haben, dass Endogenität vorhanden ist, suchen Sie möglicherweise nach einer sogenannten instrumentellen Variablen. Dies sind Regressoren, die mit dem Preis, aber nicht mit der Nachfrage korrelieren, dh etwas, das beispielsweise das Angebot beeinflussen kann. Wenn die Nachfrage nach Orangen besteht, ist möglicherweise eine Temperatur in Florida im Frühjahr ein geeignetes Instrument, da dies das Angebot an Orangen - und den Preis - beeinflussen wird, nicht jedoch die Nachfrage. Sie schließen dieses Instrument also an die Regression an und ziehen die Auswirkungen des Preises auf die Nachfrage heraus

Beachten Sie, dass nicht für alle dieselbe Verteilung haben muss . Ungleiche Varianz kann durch gewichtete kleinste Quadrate oder Standardfehler behandelt werden, die gegenüber Heteroskedastizität robust gemacht werden, während Korrelationen zwischen dem Fehlerterm unter Verwendung von Huber-White-Standardfehlern behandelt werden können.$\epsilon_i$$i$

Ich stimme zu, dass wir niemals beurteilen können, ob mit korreliert . In meiner aktuellen Arbeit wird die interessierende Kovariate normalerweise zufällig zugewiesen, sodass wir behaupten können, dass sie unabhängig vom Fehlerterm ist. Andere eingeschlossene Regressoren sind dies möglicherweise nicht, aber auch sie sind nicht mit dem interessierenden Regressor korreliert und haben daher keinen Einfluss auf die Schätzung seines Koeffizienten.$\epsilon_i$$x_i$

Meine formale Ausbildung ist in Wirtschaftswissenschaften, wo Beobachtungsstudien häufiger sind. Dort appellieren wir an externes Wissen, um diese Annahme zu bewerten. Beispielsweise schätzt die Regression der Löhne auf die Schuljahre nicht die Parameter einer bedingten Erwartung, da der Fehlerbegriff Dinge wie Motivation enthält, die mit den Schuljahren korrelieren. In der Wirtschaft werden große Anstrengungen unternommen, um glaubwürdige Unterschiede zu ermitteln, obwohl letztendlich die Glaubwürdigkeit solcher Beobachtungsanalysen umstritten ist.