Wie kann man beurteilen, ob eine Münze, die 900 Mal geworfen wurde und 490 Mal auftaucht, voreingenommen ist?

Eine Münze wird 900 Mal geworfen und Köpfe erschienen 490 Mal. Unterstützt das Ergebnis die Hypothese, dass die Münze unvoreingenommen ist?

Hier ist die natürliche Nullhypothese dass die Münze unvoreingenommen ist, dh dass die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes gleich . Die vernünftigste alternative Hypothese ist die , obwohl man für die einseitige alternative Hypothese . p 1 / 2 H 1 p ≠ 1 / 2 p > 1 /$H_0$$p$$1/2$$H_1$$p\ne 1/2$$p>1/2$

Wir müssen das Signifikanzniveau des Tests wählen . Das liegt an dir. Zwei traditionelle Zahlen sind % und %.$5$$1$

Angenommen, die Nullhypothese gilt. Dann hat die Anzahl der Köpfe eine * Binomialverteilung mit dem Mittelwert und der Standardabweichung .$(900)(1/2)=450$$\sqrt{(900)(1/2)(1/2)}=15$

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich beim Werfen einer fairen Münze die Anzahl der Köpfe von um oder mehr (in beide Richtungen) unterscheidet, beträgt symmetrisch Dies ist nicht praktisch von Hand zu berechnen, aber Wolfram Alpha gibt eine Antwort von ungefähr .$450$$40$

So , wenn die Münze unvoreingenommene war, dann eine Anzahl von Köpfen , dass unterscheidet sich von um oder mehr wäre ziemlich unwahrscheinlich. Es hätte eine Wahrscheinlichkeit von weniger als %. Bei einem Signifikanzniveau von % lehnen wir die Nullhypothese ab.40 1 $450$$40$$1$$1$

Wir können auch die normale Annäherung an das Binomial verwenden, um die Wahrscheinlichkeit zu schätzen, dass die Anzahl der Köpfe unter der Nullhypothese oder beträgt . Unsere Normalen haben den Mittelwert und die Varianz beträgt mit der Wahrscheinlichkeit, dass eine Standardnormalen . Aus Tabellen für den Normalwert ergibt sich ein etwa . Verdoppeln Sie, um den linken Schwanz zu berücksichtigen. Wir erhalten ungefähr , ziemlich nahe an dem von Wolfram Alpha angegebenen Wert und unter %. Also, wenn wir≤ 410 p = 1 / 2 450 15 ≥ 490 ≥ 40 / 15 0,0039 0,0078 1 1 H $\ge 490$$\le 410$$p=1/2$$450$$15$$\ge 490$$\ge 40/15$$0.0039$$0.0078$$1$$1$\% als unser Signifikanzniveau lehnen wir erneut die Nullhypothese .$H_0$

Anmerkungen: . In der normalen Annäherung an das Binom erhalten wir eine bessere Annäherung an die Wahrscheinlichkeit, dass das Binomial indem wir die Wahrscheinlichkeit berechnen, dass die Normalität . Wenn Sie es nachschlagen möchten, ist dies die Kontinuitätskorrektur . Wenn wir die normale Näherung mit Kontinuitätskorrektur verwenden, stellen wir fest, dass die Wahrscheinlichkeit von oder mehr oder oder weniger Köpfen etwa , was ziemlich nahe an der "genauen" Antwort von Wolfram Alpha liegt. So können wir eine sehr genaue Schätzung finden, indem wir, wie in den schlechten alten Zeiten, Tabellen der Standardnormalen verwenden und die Arithmetik "von Hand" ausführen. ≥ 490 ≥ 489,5 490 410 $1$$\ge 490$$\ge 489.5$$490$$410$$0.008468$

p > 1 / 2 p = 1 / 2 $2$ . Angenommen, wir verwenden die etwas weniger natürliche Alternativhypothese . Wenn ist, die Wahrscheinlichkeit von oder mehr ungefähr . Bei einem Signifikanzniveau von % würden wir also die Nullhypothese ablehnen, und wir würden sie sogar ablehnen, selbst wenn wir das Signifikanzniveau .$p>1/2$$p=1/2$$490$1 $0.00421$$1$$0.005$

Ein Signifikanzniveaus Einstellung ist immer dann notwendig, denn es ist möglich , für eine faire Münze Ausbeute sagen oder mehr Köpfe in Würfen, nur lächerlich unwahrscheinlich. $550$$900$

Wenn die Münze unvoreingenommen ist, ist die Wahrscheinlichkeit von 'Köpfen' . Daher hat die Anzahl der in 900 Versuchen geworfenen Köpfe, , eine -Verteilung unter der Nullhypothese einer fairen Münze. Der Wert - die Wahrscheinlichkeit, ein so extremes oder extremeres Ergebnis zu sehen, wenn die Münze weit entfernt ist, ist XBinomial(900,$\frac{1}{2}$$X$${\rm Binomial}(900,\frac{1}{2})$$p$

Wenn Sie den 2-seitigen Wert suchen , wäre das$p$

Ich überlasse es Ihnen zu beschreiben, warum dies der Fall ist.

Wir wissen, dass die Massenfunktion für ist $Y \sim {\rm Binomial}(n,p)$

Ich überlasse es Ihnen, den gesuchten Wert zu berechnen . $p$

Hinweis: Die Stichprobengröße ist hier so groß, dass Sie die normale Annäherung an die Binomialverteilung verwenden können. Ich habe oben detailliert beschrieben, wie der genaue Wert berechnet wird .$p$

Das Beispiel von der Wikipedia-Seite zu Bayes Factor scheint für die Frage ziemlich relevant zu sein. Wenn wir zwei Modelle haben, M1, bei denen die Münze genau unverzerrt ist (q = 0,5), und M2, bei denen die Wahrscheinlichkeit eines Kopfes unbekannt ist, verwenden wir eine flache vorherige Verteilung auf 1. Wir berechnen dann den Bayes-Faktor

$K = \frac{p(x=490|M_0)}{p(x=490|M_1)}$

wo

$p(x=490|M1) = \mathrm{nchoosek}(900,490)\frac12^{900} = 7.5896\times10^{-4}$

und

$p(x=490|M2) = \int_0^1 \mathrm{nchoosek}(900,490)q^{490}(1-q)^{410}dq = \frac{1}{901}$

Gibt einen Bayes-Faktor von , der nach der üblichen Interpretationsskala "kaum erwähnenswert" ist.$K \approx 1.4624$

Beachten Sie jedoch, dass (i) der Bayes-Faktor eine eingebaute Occam-Strafe hat, die einfache Modelle bevorzugt, und M1 viel einfacher ist, da es keine Störparameter gibt, wie dies bei M2 der Fall ist; (ii) eine Pauschale vor ist physikalisch nicht sinnvoll, in der Praxis wird eine voreingenommene Münze nahezu fair sein, es sei denn, die Münze ist offensichtlich asymmetrisch; (iii) Es war ein langer Tag und ich hätte leicht einen Fehler machen können, wenn es um die Analyse von Annahmen zu Berechnungen ging.$q$

Beachten Sie, dass die Münze voreingenommen ist, wenn es sich um ein physisches Objekt handelt, da aufgrund ihrer Assymetrie nicht genau die Wahrscheinlichkeit besteht, dass sie von Kopf bis Schwanz herunterfällt.

Ihre Frage kann auf verschiedene Arten beantwortet werden.

Der traditionelle Hypothesentest soll Möglichkeiten ausschließen, nicht unbedingt beweisen. In diesem Fall können wir als Nullhypothese verwenden und prüfen, ob die Daten (490 von 900 Köpfen) verwendet werden können, um diese Nullhypothese durch Berechnung eines p-Werts abzulehnen. Wenn der p-Wert kleiner als ist, lehnen wir die Null ab, aber ein p-Wert bedeutet nicht, dass wir sagen können, dass die Daten die Null unterstützen , sondern nur, dass sie mit der Annahme übereinstimmen, dass die Null wahr ist , aber in Wahrheit könnte die Null falsch sein, nur die Wahrheit ist ein Wert von sehr nahe bei .α > α p $H_0: p=0.5$$\alpha$$>\alpha$$p$$0.5$

Der "Äquivalenz" -Ansatz würde darin bestehen, unverzerrt nicht als zu definieren , sondern einen kleinen Bereich um 0,5 zu wählen, der als . Wenn dann das Konfidenzintervall für den wahren Anteil vollständig innerhalb des Äquivalenzintervalls von "unverzerrt" liegt, würden die Daten die Hypothese von "unverzerrt" stützen.0,5 - ϵ < p < 0,5 + $p=0.5$$0.5-\epsilon < p < 0.5+\epsilon$

Ein anderer Ansatz wäre die Verwendung eines Bayes'schen Ansatzes, bei dem wir mit einer vorherigen Verteilung des wahren Anteils einschließlich einer Punktmasse bei 0,5 und des Restes der Wahrscheinlichkeitsverteilung über mögliche Werte. Kombinieren Sie das dann mit den Daten, um einen Posterior zu erhalten. Wenn die Posterioun-Wahrscheinlichkeit von hoch genug ist, würde dies die Behauptung stützen, unvoreingenommen zu sein.p = $p$$p=0.5$

Und eine R-Illustration:

Unter der Nullhypothese können wir uns ein Zufallsvariablen-verteiltes Binom mit n = 900 und p = 0,5 ansehen (dh wenn die Münze unverzerrt wäre, dann wäre p = Wahrscheinlichkeit von Kopf (oder Zahl) = 0,5).

Wenn wir die Alternative testen möchten, dass Ha: p <> 0,5 bei Alpha 0,05 ist, können wir die Schwänze der Verteilung unter der Null wie folgt betrachten und sehen, dass 490 außerhalb des Intervalls {421, 479} liegt, und daher Ho ablehnen .

n<-900
p<-0.5
qbinom(c(0.025,0.975),size=n,prob=p)
# 421 479

Um den Bayes'schen Ansatz zu verdeutlichen:

Sie beginnen damit, nichts zu wissen, außer das P(Heads)ist in [0,1]. Beginnen Sie also mit einer maximalen Entropie vor -> uniform(0,1). Dies kann als Beta-Distribution dargestellt werden -> beta(1,1).

Jedes Mal, wenn Sie die Münze werfen, führen Sie eine Bayes'sche Aktualisierung der Münze P(Heads)durch, indem Sie jeden Punkt in der Verteilung mit der Wahrscheinlichkeit multiplizieren (multiplizieren Sie mit, xwenn Sie Köpfe rollen, multiplizieren Sie mit, (1-x)wenn Sie Schwänze erhalten), und normalisieren Sie die Gesamtwahrscheinlichkeit erneut auf 1 Dies ist, was die Beta-Distribution tut. Wenn der erste Wurf Köpfe sind, haben Sie beta(2,1). In deinem Fall hast du beta(490,510).

Von dort würde ich das 95% -Wahrscheinlichkeitsintervall berechnen, und wenn 0,5 nicht in diesem Intervall liegt, würde ich anfangen, misstrauisch zu werden.

Als ich diese Übung zum ersten Mal durchlief, war ich wirklich überrascht, wie lange die Konvergenz gedauert hat ... Ich begann, weil jemand sagte: "Wenn Sie eine Münze 100 Mal werfen, wissen Sie, dass P(Heads)+/- 1%", stellt sich heraus völlig falsch, du brauchst Größen von mehr als 100 Flips.

Nullhypothese, Ho: P = 0,5 (P = Q = 0,5)

H1: P> 0,5

wobei P die Wahrscheinlichkeit eines auftretenden Kopfes ist.

wir wissen, dass z = (pP) / sqrt (PQ / N)

wobei p = 490/900 = 0,54

Jetzt ist z = (0,54-0,5) / sqrt ((0,5 · 0,5) / 900)

z = 2

daher wird bei 5% LOS (dh 1,64 <2) Ho abgelehnt

daher ist die Münze voreingenommen .....