Welche Beziehung besteht zwischen der Funktion

Betrachten Sie die Funktion

$$r(x) = \mathbb{E}(Y \mid X = x)$$

Dies wurde in einem von mir verwendeten Lehrbuch als Regressionsfunktion bezeichnet . Ich versuche, die Beziehung zwischen dieser Funktion und dem klassischen linearen Regressionsmodell herauszufinden.

Ich weiß also, dass es ein Satz * ist, den wir schreiben dürfen

für einige Zufallsvariablen st E ( ε ) = 0 .$\epsilon$$\mathbb{E}(\epsilon) = 0$

Nehmen wir nun an, wir haben

$$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon$$

Dies ist die klassische eindimensionale Regressionsfunktion (unter der Annahme, dass und β 1 die verbleibende Quadratsumme minimieren).$\beta_0$$\beta_1$

Frage: Ist es dann ein mathematischer Satz, dass, wenn wie oben definiert ist, das$Y$

Und ist dies , warum die Funktion die „Regressionsfunktion“ genannt wird?$\mathbb{E}(Y \mid X)$

EDIT: Der Satz, den ich verwende, lautet wie folgt (aus All of Statistics, S. 89):

Regressionsmodelle werden manchmal als geschrieben

$$Y = r(X) + \epsilon$$

wobei . Auf diese Weise können wir ein Regressionsmodell jederzeit neu schreiben. Um dies zu sehen, definieren Sie ϵ = Y - r ( X ) und damit Y = Y + r ( X ) - r ( X ) = r ( X ) + ϵ . Darüber hinaus ist E ( ϵ ) = E E ( ϵ ∣ X ) = E ( $\mathbb{E}(\epsilon) = 0$$\epsilon = Y - r(X)$$Y = Y + r(X) - r(X) = r(X) + \epsilon$ .$\mathbb{E}(\epsilon) = \mathbb{E}\mathbb{E}(\epsilon \mid X) = \mathbb{E}(\mathbb{E}(Y - r(X)) \mid X) = \mathbb{E}(\mathbb{E} ( Y \mid X) - r(X)) = \mathbb{E}(r(X) - r(X)) = 0$

Zusammenfassung der Frage:

$Y = \beta_0 + \beta_1 X + \varepsilon$$r(X) = \mathbb{E}(Y \mid X) = (\beta_0 + \beta_1 X)$

Ja, nach grundlegenden Eigenschaften der Erwartung:

$1$$8\%$

$-1$$1$