Wie ist eine Chi-Quadrat-Verteilung eine Gamma-Verteilung, wenn sie nur einen Parameter hat?

Ich weiß, dass die Gamma- Verteilungsfamilie eine Zwei-Parameter-Familie ist, aber das Chi-Quadrat hat nur einen Parameter.

chi-squared gamma-distribution einfach
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Eine Verteilung ist eine Gamma-Verteilung : Der Skalierungsparameter ist immer gleich .

χ_{ν}^{2}

$\chi^2_\nu$

(ν / 2, 1 / 2)

$(\nu/2,1/2)$

1 / 2

$1/2$

Xi'an

Eine Standardnormalverteilung hat keine Parameter. Wie könnte es dann möglicherweise eine Normalverteilung sein?

whuber

@whuber, normal hat Mittelwert und Varianz als Parameter, so dass mir klar schien, dass es sich um eine Gamma-Dist'b'n handelt.

Einfach

Die Standardnormalen haben keine Parameter.

whuber

Antworten:

Beginnen wir mit dem PDF einer Gamma-verteilten Zufallsvariablen , wobei der Formparameter und der Ratenparameter ist (das PDF ist etwas anders, wenn ein Skalierungsparameter ist; beide Parameter sind streng positiv). :: $X$ $\alpha$ $\beta$ $\beta$

f_{X} (x) = \frac{x^{α - 1} β^{α} e^{- β x}}{Γ (α)}

$f_X(x) = \frac{x ^ {\alpha - 1} \beta ^ \alpha e ^ {-\beta x}}{\Gamma(\alpha)}$

Nun sei und . Nachdem wir diese Substitutionen in der obigen Gleichung vorgenommen haben, erhalten wir $\alpha = \nu / 2$ $\beta = 1/2$

f_{X} (x) = \frac{x^{\frac{ν}{2} - 1} e^{- x / 2}}{Γ (ν / 2) 2^{ν / 2}},

$f_X(x) = \frac{x ^ {\frac{\nu}{2} - 1} e ^ {-x / 2}}{\Gamma(\nu / 2) 2 ^ {\nu / 2}},$

was Sie als PDF einer Chi-Quadrat-verteilten Zufallsvariablen erkennen können. Da wir als Konstante (1/2) festgelegt haben, haben wir eine 2-Parameter-Zufallsvariable in eine umgewandelt, die nur von einem Parameter ( ) abhängt . $\beta$ $\nu$

Waldir Leoncio
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