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Der erste Satz dieser Wiki- Seite besagt, dass "in der Ökonometrie ein Endogenitätsproblem auftritt, wenn eine erklärende Variable mit dem Fehlerterm korreliert wird. 1 "

Meine Frage ist, wie kann das jemals passieren? Ist Regressions-Beta nicht so gewählt, dass der Fehlerterm orthogonal zum Spaltenraum der Entwurfsmatrix ist?

regression Einwohner des Nordens
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Das Regressions-Beta wird so gewählt, dass das Residuum orthogonal zum Spaltenraum der Entwurfsmatrix ist. Und dies kann eine schreckliche Schätzung der wahren Beta liefern, wenn der Fehlerterm nicht orthogonal zum Spaltenraum der Entwurfsmatrix ist! (dh, wenn Ihr Modell die Annahmen nicht erfüllt, die zur konsistenten Schätzung von Koeffizienten durch Regression erforderlich sind).

Matthew Gunn

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Die Orthogonalität des Fehlerterms und des Spaltenraums der Entwurfsmatrix ist keine Eigenschaft Ihrer Schätzmethode (z. B. Regression der kleinsten Quadrate), sondern eine Eigenschaft des Modells (z. B.

y_{i} = a + b x_{i} + ϵ_{i}

$y_i = a + b x_i + \epsilon_i$ ).

Matthew Gunn

Ich denke, Ihre Bearbeitung sollte eine neue Frage sein, weil Sie anscheinend wesentlich geändert haben, was Sie verlangen. Sie können jederzeit auf diesen Link zurückgreifen. (Ich denke, Sie müssen es auch besser formulieren - wenn Sie schreiben, "was wäre der Effekt", dann ist mir nicht klar, was der Effekt ist ?) Beachten Sie, dass das Stellen einer neuen Frage im Allgemeinen mehr Aufmerksamkeit erzeugt, was von Vorteil wäre für Sie über die Bearbeitung eines vorhandenen.

Silverfish

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Sie verschmelzen zwei Arten von "Fehler" -Begriffen. Wikipedia hat tatsächlich einen Artikel, der sich mit dieser Unterscheidung zwischen Fehlern und Residuen befasst .

In einer OLS-Regression die Residuen (Ihre Schätzungen des Fehler- oder Störungsterms) in der Tat sind garantiert mit den Einflussvariablen werden unkorreliert, enthält die Regression unterAnnahme eines konstanten Term. $\hat \varepsilon$

Aber die "wahren" Fehler epsi können durchaus mit ihnen korreliert sein, und dies zählt als Endogenität. $\varepsilon$

Betrachten Sie zur Vereinfachung das Regressionsmodell (Sie können dies als den zugrunde liegenden " Datenerzeugungsprozess " oder "DGP" bezeichnen, das theoretische Modell, von dem wir annehmen, dass es den Wert von ): $y$

y_{i} = β_{1} + β_{2} x_{i} + ε_{i}

$y_i = \beta_1 + \beta_2 x_i + \varepsilon_i$

Grundsätzlich gibt es keinen Grund, warum in unserem Modell nicht mit korreliert werden kann , jedoch würden wir es vorziehen, die Standard-OLS-Annahmen auf diese Weise nicht zu verletzen. Zum Beispiel könnte es sein, dass von einer anderen Variablen abhängt, die in unserem Modell weggelassen wurde, und dies wurde in den Störungsterm einbezogen (das ist der dem wir alle anderen Dinge als , die beeinflussen, zusammenfassen ). Wenn diese ausgelassene Variable auch mit korreliert ist , wird epsi; wiederum mit korreliert sein und wir haben Endogenität (insbesondere eine Verzerrung durch ausgelassene Variable ). $x$ $\varepsilon$ $y$ $\varepsilon$ $x$ $y$ $x$ $\varepsilon$ $x$

Wenn Sie Ihr Regressionsmodell anhand der verfügbaren Daten schätzen, erhalten wir

y_{i} = {\hat{β}}_{1} + {\hat{β}}_{2} x_{i} + {\hat{ε}}_{i}

$y_i = \hat \beta_1 + \hat \beta_2 x_i + \hat \varepsilon_i$

Aufgrund der Art und Weise OLS Arbeiten *, die Residuen mit unkorreliert . Aber das bedeutet nicht , dass wir vermieden endogeneity haben - es bedeutet nur , dass wir es nicht erkennen können durch die Korrelation zwischen der Analyse und , die (bis zu numerischen Fehlern) wird Null. Und weil die OLS-Annahmen verletzt wurden, ist uns nicht mehr garantiert, dass die guten Eigenschaften, wie Unparteilichkeit, die wir an OLS genießen. Unsere Schätzung wird vorgespannt werden. $\hat \varepsilon$ $x$ $\hat \varepsilon$ $x$ $\hat \beta_2$

Die Tatsachedass mit unkorreliert ist folgt unmittelbar aus den „normalen Gleichungen“ verwenden wir unsere besten Schätzungen für die Koeffizienten zu wählen. $(*)$ $\hat \varepsilon$ $x$

Wenn Sie nicht an die Matrix - Einstellung verwendet werden, und ich halte mich an das bivariate Modell in meinem Beispiel oben verwendet, dann ist die Summe der quadrierten Residuen ist und die optimalen zu finden , und $S(b_1, b_2) = \sum_{i=1}^n \varepsilon_i^2 = \sum_{i=1}^n (y_i-b_1 - b_2 x_i)^2$ $b_1 = \hat \beta_1$ $b_2 = \hat \beta_2$ , die dies minimieren, finden wir die Normalgleichungen, erstens die Bedingung erster Ordnung für den geschätzten Achsenabschnitt:

\frac{\partial S}{\partial b_{1}} = \sum_{i = 1}^{n} - 2 (y_{i} - b_{1} - b_{2} x_{i}) = - 2 \sum_{i = 1}^{n} {\hat{ε}}_{i} = 0

$\frac{\partial S}{\partial b_1} = \sum_{i=1}^n -2(y_i-b_1 - b_2 x_i) = -2 \sum_{i=1}^n \hat \varepsilon_i = 0$

der zeigt , dass die Summe (und somit Mittel) der Residuen gleich Null ist , so dass die Formel für die Kovarianz zwischen und jede Variable dann verringert $\hat \varepsilon$ $x$ $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n x_i \hat \varepsilon_i$ . We see this is zero by considering the first-order condition for the estimated slope, which is that

\frac{\partial S}{\partial b_{2}} = \sum_{i = 1}^{n} - 2 x_{i} (y_{i} - b_{1} - b_{2} x_{i}) = - 2 \sum_{i = 1}^{n} x_{i} {\hat{ε}}_{i} = 0

$\frac{\partial S}{\partial b_2} = \sum_{i=1}^n -2 x_i (y_i-b_1 - b_2 x_i) = -2 \sum_{i=1}^n x_i \hat \varepsilon_i = 0$

If you are used to working with matrices, we can generalise this to multiple regression by defining $S(b) = \varepsilon' \varepsilon = (y-Xb)'(y-Xb)$ ; the first-order condition to minimise $S(b)$ at optimal $b = \hat \beta$ is:

\frac{d S}{d b} (\hat{β}) = \frac{d}{d b} (y^{'} y - b^{'} X^{'} y - y^{'} X b + b^{'} X^{'} X b) |_{b = \hat{β}} = - 2 X^{'} y + 2 X^{'} X \hat{β} = - 2 X^{'} (y - X \hat{β}) = - 2 X^{'} \hat{ε} = 0

$\frac{dS}{db}(\hat\beta) = \frac{d}{db}\bigg(y'y - b'X'y - y'Xb + b'X'Xb\bigg)\bigg|_{b=\hat\beta} = -2X'y + 2X'X\hat\beta = -2X'(y - X\hat\beta) = -2X'\hat \varepsilon = 0$

This implies each row of $X'$ , and hence each column of $X$ , is orthogonal to $\hat \varepsilon$ . Then if the design matrix $X$ has a column of ones (which happens if your model has an intercept term), we must have $\sum_{i=1}^n \hat \varepsilon_i = 0$ so the residuals have zero sum and zero mean. The covariance between $\hat \varepsilon$ and any variable $x$ is again $\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n x_i \hat \varepsilon_i$ and for any variable $x$ included in our model we know this sum is zero, because $\hat \varepsilon$ is orthogonal to every column of the design matrix. Hence there is zero covariance, and zero correlation, between $\hat \varepsilon$ and any predictor variable $x$ .

If you prefer a more geometric view of things, our desire that $\hat y$ lies as close as possible to $y$ in a Pythagorean kind of way, and the fact that $\hat y$ is constrained to the column space of the design matrix $X$ , dictate that $\hat y$ should be the orthogonal projection of the observed $y$ onto that column space. Hence the vector of residuals $\hat \varepsilon = y - \hat y$ is orthogonal to every column of $X$ , including the vector of ones $\mathbf{1_n}$ if an intercept term is included in the model. As before, this implies the sum of residuals is zero, whence the residual vector's orthogonality with the other columns of $X$ ensures it is uncorrelated with each of those predictors.

Vectors in subject space of multiple regression

But nothing we have done here says anything about the true errors $\varepsilon$ . Assuming there is an intercept term in our model, the residuals $\hat \varepsilon$ are only uncorrelated with $x$ as a mathematical consequence of the manner in which we chose to estimate regression coefficients $\hat \beta$ . The way we selected our $\hat \beta$ affects our predicted values $\hat y$ and hence our residuals $\hat \varepsilon = y - \hat y$ . If we choose $\hat \beta$ by OLS, we must solve the normal equations and these enforce that our estimated residuals $\hat \varepsilon$ are uncorrelated with $x$ . Our choice of $\hat \beta$ affects $\hat y$ but not $\mathbb{E}(y)$ and hence imposes no conditions on the true errors $\varepsilon = y - \mathbb{E}(y)$ . It would be a mistake to think that $\hat \varepsilon$ has somehow "inherited" its uncorrelatedness with $x$ from the OLS assumption that $\varepsilon$ should be uncorrelated with $x$ . The uncorrelatedness arises from the normal equations.

Silverfish
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1

does your

y_{i} = β_{1} + β_{2} x_{i} + ε_{i}

$y_i = \beta_1 + \beta_2 x_i + \varepsilon_i$ mean regression using population data? Or what does it mean precisely?

denizen of the north

@user1559897 Yes, some textbooks will call this the "population regression line" or PRL. It's the underlying theoretical model for the population; you may also see this called the "data generating process" in some sources. (I tend to be a bit careful about saying it is the "regression on the population"... if you have a finite population, e.g. 50 states of the USA, that you perform the regression on, then this isn't quite true. If you are actually running a population on some data in your software, you are really talking about the estimated version of the regression, with the "hats")

Silverfish

I think i see what you are saying. If i understand you correctly, the error term in the model

y_{i} = β_{1} + β_{2} x_{i} + ε_{i}

$y_i = \beta_1 + \beta_2 x_i + \varepsilon_i$ could have non-zero expectation as well because it is a theoretical generating process, not a ols regression.

denizen of the north

This is a great answer from statistical inference perspective. What do you think the effect would be if prediction accuracy is the primary concern? See the edit of the post.

denizen of the north

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Simple example:

Let $x_{i,1}$ be the number of burgers I buy on visit $i$
Let $x_{i,2}$ be the number of buns I buy.
Let $b_1$ be the price of a burger
Let $b_2$ be the price of a bun.
Independent of my burger and bun purchases, let me spend a random amount $a + \epsilon_i$ where $a$ is a scalar and $\epsilon_i$ is a mean zero random variable. We have $\operatorname{E}[\epsilon_i | X] = 0$ .
Let $y_i$ be my spending on a trip to the grocery store.

The data generating process is:

y_{i} = a + b_{1} x_{i, 1} + b_{2} x_{i, 2} + ϵ_{i}

$y_i = a + b_1x_{i,1} + b_2x_{i,2} + \epsilon_i$

If we ran that regression, we would get estimates $\hat{a}$ , $\hat{b}_1$ , and $\hat{b}_2$ , and with enough data, they would converge on $a$ , $b_1$ , and $b_2$ respectively.

(Technical note: We need a little randomness so we don't buy exactly one bun for each burger we buy at every visit to the grocery store. If we did this, $x_1$ and $x_2$ would be collinear.)

An example of omitted variable bias:

Now let's consider the model:

y_{i} = a + b_{1} x_{i, 1} + u_{i}

$y_i = a + b_1x_{i,1} + u_i$

Observe that $u_i = b_2x_{i,2} + \epsilon_i$ . Hence

\begin{aligned} Cov (x_{1}, u) & = Cov (x_{1}, b_{2} x_{2} + ϵ) \\ = b_{2} Cov (x_{1}, x_{2}) + Cov (x_{1}, ϵ) \\ = b_{2} Cov (x_{1}, x_{2}) \end{aligned}

$\begin{align*} \operatorname{Cov}(x_{1}, u) &= \operatorname{Cov}(x_1,b_2x_2 + \epsilon )\\ &= b_2 \operatorname{Cov}(x_{1},x_2) + \operatorname{Cov}(x_{1},\epsilon) \\ &= b_2 \operatorname{Cov}(x_{1},x_2) \end{align*}$

Is this zero? Almost certainly not! The purchase of burgers $x_1$ and the purchase of buns $x_2$ are almost certainly correlated! Hence $u$ and $x_1$ are correlated!

What happens if you tried to run the regression?

If you tried to run:

y_{i} = \hat{a} + {\hat{b}}_{1} x_{i, 1} + {\hat{u}}_{i}

$y_i = \hat{a} + \hat{b}_1 x_{i,1} + \hat{u}_i$

Your estimate $\hat{b}_1$ would almost certainly be a poor estimate of $b_1$ because the OLS regression estimates $\hat{a}, \hat{b}, \hat{u}$ would be constructed so that $\hat{u}$ and $x_1$ are uncorrelated in your sample. But the actual $u$ is correlated with $x_1$ in the population!

What would happen in practice if you did this? Your estimate $\hat{b}_1$ of the price of burgers would ALSO pickup the price of buns. Let's say every time you bought a $1 burger you tended to buy a $0.50 bun (but not all the time). Your estimate of the price of burgers might be $1.40. You'd be picking up the burger channel and the bun channel in your estimate of the burger price.

Matthew Gunn
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I like your burger bun example. You explained the problem from the perspective of statistical inference, ie inferring the effect of burger on price. Just wondering what the effect would be if all I care about is prediction, i.e prediction MSE on a test dataset? The intuition is that it is not going to be as good, but is there any theory to make it more precise? (this introduced more bias, but less variance, so the overall effect is not apparent to me. )

denizen of the north

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@user1559897 If you just care about predicting spending, then predicting spending using the number of burgers and estimating

{\hat{b}}_{1}

$\hat{b}_1$ as around $1.40 might work pretty well. If you have enough data, using the number of burgers and buns would undoubtedly work better. In short samples,

L_{1}

$L_1$ regularlization (LASSO) might send one of the coefficients

b_{1}

$b_1$ or

b_{2}

$b_2$ to zero. I think you're correctly recognizing that what you're doing in regression is estimating a conditional expectation function. My point is for that that function to capture causal effects, you need additional assumptions.

Matthew Gunn

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Suppose that we're building a regression of the weight of an animal on its height. Clearly, the weight of a dolphin would be measured differently (in different procedure and using different instruments) from the weight of an elephant or a snake. This means that the model errors will be dependent on the height, i.e. explanatory variable. They could be dependent in many different ways. For instance, maybe we tend to slightly overestimate the elephant weights and slightly underestimate the snake's, etc.

So, here we established that it is easy to end up with a situation when the errors are correlated with the explanatory variables. Now, if we ignore this and proceed to regression as usual, we'll notice that the regression residuals are not correlated with the design matrix. This is because, by design the regression forces the residuals to be uncorrelated. Note, also that residuals are not the errors, they're the estimates of errors. So, regardless of whether the errors themselves are correlated or not with the independent variables the error estimates (residuals) will be uncorrelated by the construction of the regression equation solution.

Aksakal
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Wie kann der Regressionsfehler-Term jemals mit den erklärenden Variablen korreliert werden?

Antworten:

Simple example:

An example of omitted variable bias:

What happens if you tried to run the regression?