Was ist der Unterschied zwischen PCA und asymptotischer PCA?

In zwei Beiträgen aus den Jahren 1986 und 1988 schlugen Connor und Korajczyk einen Ansatz zur Modellierung der Anlagenrendite vor. Da diese Zeitreihen in der Regel mehr Vermögenswerte als Beobachtungen über einen bestimmten Zeitraum enthalten, schlugen sie vor, eine PCA für Querschnitts-Kovarianzen der Vermögensrenditen durchzuführen. Sie nennen diese Methode Asymptotic Principal Component Analysis (APCA), was ziemlich verwirrend ist, da das Publikum sofort an asymptotische Eigenschaften von PCA denkt.

Ich habe die Gleichungen ausgearbeitet und die beiden Ansätze scheinen numerisch gleich zu sein. Die Asymptotik ist natürlich unterschiedlich, da Konvergenz eher für als für bewiesen wird . Meine Frage ist: Hat jemand APCA verwendet und mit PCA verglichen? Gibt es konkrete Unterschiede? Wenn ja, welche?$N \rightarrow \infty$$T \rightarrow \infty$

Es gibt absolut keinen Unterschied.

Es gibt absolut keinen Unterschied zwischen Standard-PCA und dem, was C & K vorgeschlagen und als "asymptotisches PCA" bezeichnet hat. Es ist ziemlich lächerlich, ihm einen eigenen Namen zu geben.

Hier ist eine kurze Erklärung von PCA. Wenn zentrierte Daten mit Abtastwerten in Zeilen in einer Datenmatrix gespeichert sind , sucht PCA nach Eigenvektoren der Kovarianzmatrix und projiziert die Daten auf diese Eigenvektoren, um Hauptkomponenten zu erhalten. Ebenso kann man eine Gram-Matrix betrachten, . Es ist leicht zu erkennen, dass es genau die gleichen Eigenwerte hat und seine Eigenvektoren skalierte PCs sind. (Dies ist praktisch, wenn die Anzahl der Stichproben geringer ist als die Anzahl der Merkmale.)$\mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X^\top \mathbf X$$\frac{1}{N}\mathbf X \mathbf X^\top$

Es scheint mir, dass C & K vorgeschlagen hat, Eigenvektoren der Gram-Matrix zu berechnen, um Hauptkomponenten zu berechnen. Na wow Dies ist nicht "äquivalent" zu PCA. es ist PCA.

Um die Verwirrung zu vergrößern, scheint sich der Name "asymptotisches PCA" auf seine Beziehung zur Faktoranalyse (FA) zu beziehen, nicht auf PCA! Die Originalpapiere von C & K befinden sich in der Paywall. Hier ist ein Zitat von Tsay, Analyse finanzieller Zeitreihen, verfügbar in Google Books:

Connor und Korajczyk (1988) zeigten, dass als [Anzahl der Merkmale] Eigenwert-Eigenvektor-Analyse von [der Gram-Matrix] der traditionellen statistischen Faktorenanalyse entspricht.$k$$\to \infty$

Was dies wirklich bedeutet, ist, dass PCA bei die gleiche Lösung wie FA liefert. Dies ist eine leicht verständliche Tatsache in Bezug auf PCA und FA und hat nichts mit dem zu tun, was C & K vorgeschlagen hat. Ich habe es in den folgenden Threads diskutiert:$k \to \infty$

• Gibt es einen guten Grund, PCA anstelle von EFA zu verwenden? Kann PCA auch ein Ersatz für die Faktoranalyse sein?
• Unter welchen Bedingungen liefern PCA und FA ähnliche Ergebnisse?

Das Fazit lautet also: C & K hat beschlossen, den Begriff "asymptotische PCA" für Standard-PCA zu prägen (was auch als "asymptotische FA" bezeichnet werden könnte). Ich würde sogar empfehlen, diesen Begriff niemals zu verwenden.

Typischerweise wird APCA verwendet, wenn es viele Serien, aber nur sehr wenige Proben gibt. Ich würde APCA nicht als besser oder schlechter als PCA bezeichnen, da Sie die Gleichwertigkeit festgestellt haben. Sie unterscheiden sich jedoch darin, wann die Werkzeuge anwendbar sind. Das ist die Einsicht des Papiers: Sie können die Abmessung umdrehen, wenn es bequemer ist! In der von Ihnen erwähnten Anwendung gibt es also eine Menge Assets, so dass Sie eine lange Zeitreihe benötigen würden, um eine Kovarianzmatrix zu berechnen, aber jetzt können Sie APCA verwenden. Ich denke jedoch, dass APCA nicht sehr oft angewendet wird, da Sie versuchen könnten, die Dimensionalität mit anderen Techniken (wie der Faktoranalyse) zu reduzieren.