PCA wird jedoch als lineares Verfahren angesehen:
Dabei ist . Dies bedeutet, dass die von den PCAs auf den Datenmatrizen erhaltenen Eigenvektoren sich nicht zu den von der PCA auf der Summe der Datenmatrizen erhaltenen Eigenvektoren summieren . Aber ist die Definition einer linearen Funktion :X i X i f
Warum wird PCA als "linear" betrachtet, wenn es diese grundlegende Bedingung der Linearität nicht erfüllt?
Antworten:
Wenn wir sagen, dass PCA eine lineare Methode ist, beziehen wir uns auf die dimensionalitätsreduzierende Abbildung vom hochdimensionalen Raum R p auf einen niederdimensionalen Raum R k . In PCA ist diese Abbildung durch Multiplikation von x mit der Matrix von PCA-Eigenvektoren gegeben und ist daher offensichtlich linear (Matrixmultiplikation ist linear): z = f ( x ) = V V x . Dies steht im Gegensatz zu nichtlinearen Verfahren zur Dimensionsreduzierung , bei denen die dimensionalitätsreduzierende Abbildung nichtlinear sein kann.f: x ↦ z Rp Rk x
Andererseits werden die oberen Eigenvektoren V ectors R p × k aus der Datenmatrix X ∈ R n × p unter Verwendung dessen berechnet , was Sie in Ihrer Frage P C A ( ) genannt haben : V = P C A ( X ) , und Diese Abbildung ist sicherlich nichtlinear: Es werden Eigenvektoren der Kovarianzmatrix berechnet, was ein nichtlineares Verfahren ist. (Als einfaches Beispiel multiplizieren Sie X mit 2k V ∈ Rp × k X ∈ Rn × p P C A ()
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"Linear" kann viele Dinge bedeuten und wird nicht ausschließlich formal verwendet.
PCA wird häufig nicht als eine Funktion im formalen Sinne definiert, und es wird daher nicht erwartet, dass es die Anforderungen einer linearen Funktion erfüllt, wenn es als solche beschrieben wird. Es wird, wie Sie sagten, öfter als Prozedur und manchmal als Algorithmus beschrieben (obwohl mir diese letzte Option nicht gefällt). Es wird oft gesagt, dass es auf informelle, nicht genau definierte Weise linear ist.
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PCA liefert / ist eine lineare Transformation.
Zum Vergleich ein sehr einfaches Beispiel eines Prozesses, der eine lineare Transformation verwendet, aber selbst keine lineare Transformation ist:
und
aber
Diese Verdopplung des Winkels, die die Berechnung von Winkeln beinhaltet, ist nicht linear und entspricht der Aussage von Amöben, dass die Berechnung des Eigenvektors nicht linear ist
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