Wie kann man zeigen, dass diese Matrix positiv semidefinit ist?

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Lassen

K.=(K.11K.12K.21K.22)

werden , um eine symmetrische positive semidefinite reelle Matrix (PSD) mit . Dann für , | r | 1K.12=K.21T.|r|1

K.=(K.11rK.12rK.21K.22)

ist auch eine PSD-Matrix. Die Matrizen und sind und bezeichnet die Transponierungsmatrix. Wie beweise ich das?K 2 × 2 K T 21K.K.2×2K.21T.

jack 看看
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Ich denke, diese Frage braucht das Tag zum Selbststudium.
Michael R. Chernick
Bitte füge das [self-study]Tag hinzu und lies das Wiki . Dann sagen Sie uns, was Sie bisher verstanden haben, was Sie versucht haben und wo Sie stecken bleiben. Wir geben Ihnen Tipps, wie Sie sich lösen können.
Gung - Reinstate Monica
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Wenn K 2x2 ist, bedeutet das, dass K_21 ein Skalar ist? Wenn ja, warum sprechen Sie über die Transponierung?
Akkumulation

Antworten:

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Dies ist eine gute Gelegenheit, die Definitionen anzuwenden: Es sind keine fortgeschrittenen Theoreme erforderlich.

Um die Notation zu vereinfachen, für eine beliebige Anzahl läßt A ( ρ ) = ( A ρ B ρ B ' D ) eine symmetrisch seine Blockmatrix. (Wenn Ihnen die Arbeit mit Blockmatrizen nicht vertraut ist, nehmen Sie zunächst an, dass A , B , D , x und y Zahlen sind. In diesem Fall erhalten Sie eine allgemeine Vorstellung.)ρ

A(ρ)=(AρBρBD)
ABDxy

Wenn positiv semidefinit (PSD) ist, bedeutet dies lediglich, dass für alle Vektoren x und y geeignete Dimensionen habenA(ρ)xy

(1)0(xy)A(ρ)(xy)=(xy)(AρBρBD)(xy)=xAx+2ρyBx+yDy.

Dies müssen wir beweisen, wenn .|ρ|1

Uns wird gesagt, dass A(1) PSD ist. Ich behaupte, dass auch PSD ist. Dies folgt durch Negieren von y in Ausdruck ( 1 ) : Da ( x y ) durch alle möglichen Vektoren reicht, reicht ( x - y ) auch durch alle möglichen Vektoren und erzeugtA(- -1)y(1)(xy)(x- -y)

0(x'- -y')EIN(1)(x- -y)=x'EINx+2(- -y)'B.'x+(- -y)'D.(- -y)=x'EINx+2(- -1)y'B.'x+y'D.y=(x'y')EIN(- -1)(xy),

zeigt, dass mit ρ = - 1 gilt.(1)ρ=- -1.

Beachten Sie, dass als linearer Interpolant der Extreme A ( - 1 ) und A ( 1 ) ausgedrückt werden kann :EIN(ρ)EIN(- -1)EIN(1)

(2)EIN(ρ)=1- -ρ2EIN(- -1)+1+ρ2EIN(1).

Wann sind beide Koeffizienten ( 1 - ρ ) / 2 und ( 1 + ρ ) / 2 nicht negativ. Da also beide ( x ' y ' ) A ( 1 ) ( x|ρ|1(1- -ρ)/.2(1+ρ)/.2als auch( x ' y ' )A(-1)( x y )(x'y')EIN(1)(xy)(x'y')EIN(- -1)(xy) sind nicht negativ, so ist die rechte Seite von

(x'y')EIN(ρ)(xy)=(1- -ρ2)(x'y')EIN(- -1)(xy)+(1+ρ2)(x'y')EIN(1)(xy)0(0)+0(0)=0.

(Ich verwende Farben, um Ihnen zu helfen, die vier beteiligten nicht negativen Begriffe zu erkennen.)

xy(1)ρ|ρ|1

whuber
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Das ist ziemlich schön in seiner Einfachheit :-)
TenaliRaman
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Es gibt bereits eine großartige Antwort von @whuber, daher werde ich versuchen, anhand einiger Sätze einen alternativen, kürzeren Beweis zu liefern.

  1. EINQ.Q.T.EINQ.
  2. EINB.EIN+B.
  3. EINq>0qEIN

Und nun:

K.=(K.1,1rK.1,2rK.2,1K.2,2)=(K.1,1rK.1,2rK.2,1r2K.2,2)+(000qK.2,2), wo q=1- -r2>0=(ich00rich)T.(K.1,1K.1,2K.2,1K.2,2)(ich00rich)+q(000K.2,2)

K.K.2,2

Łukasz Grad
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