Wie kann man zeigen, dass diese Matrix positiv semidefinit ist?

Lassen

$$K=\begin{pmatrix} K_{11} & K_{12}\\ K_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$$

werden , um eine symmetrische positive semidefinite reelle Matrix (PSD) mit . Dann für , | r | ≤ $K_{12}=K_{21}^T$$|r| \le 1$

$$K^*=\begin{pmatrix} K_{11} & rK_{12}\\ rK_{21} & K_{22} \end{pmatrix}$$

ist auch eine PSD-Matrix. Die Matrizen und sind und bezeichnet die Transponierungsmatrix. Wie beweise ich das?K ≤ 2 × 2 K T $K$$K^*$$2 \times 2$$K_{21}^T$

Dies ist eine gute Gelegenheit, die Definitionen anzuwenden: Es sind keine fortgeschrittenen Theoreme erforderlich.

Um die Notation zu vereinfachen, für eine beliebige Anzahl läßt A ( ρ ) = ( A ρ B ρ B ' D ) eine symmetrisch seine Blockmatrix. (Wenn Ihnen die Arbeit mit Blockmatrizen nicht vertraut ist, nehmen Sie zunächst an, dass A , B , D , x und y Zahlen sind. In diesem Fall erhalten Sie eine allgemeine Vorstellung.)$\rho$

$$\mathbb{A}(\rho)=\pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}$$ $A$$B$$D$$x$$y$

Wenn positiv semidefinit (PSD) ist, bedeutet dies lediglich, dass für alle Vektoren x und y geeignete Dimensionen haben$\mathbb{A}(\rho)$$x$$y$

$$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \mathbb{A}(\rho) \pmatrix{x\\y} \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime} \pmatrix{A&\rho B\\\rho B^\prime&D}\pmatrix{x\\y} \\ &=x^\prime A x + 2\rho y^\prime B^\prime x + y^\prime D y.\tag{1} }$$

Dies müssen wir beweisen, wenn .$|\rho|\le 1$

Uns wird gesagt, dass $\mathbb{A}(1)$ PSD ist. Ich behaupte, dass auch PSD ist. Dies folgt durch Negieren von y in Ausdruck ( 1 ) : Da ( x y ) durch alle möglichen Vektoren reicht, reicht ( x - y ) auch durch alle möglichen Vektoren und erzeugt$\mathbb{A}(-1)$$y$$(1)$$\pmatrix{x\\y}$$\pmatrix{x\\-y}$

$$\eqalign{ 0 &\le \pmatrix{x^\prime&-y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\-y} \\ &= x^\prime A x + 2(-y)^\prime B^\prime x + (-y)^\prime D (-y) \\ &= x^\prime A x + 2(-1)y^\prime B^\prime x + y^\prime D y \\ &= \pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}, }$$

zeigt, dass mit ρ = - $(1)$$\rho=-1.$

Beachten Sie, dass als linearer Interpolant der Extreme A ( - 1 ) und A ( 1 ) ausgedrückt werden kann :$\mathbb{A}(\rho)$$\mathbb{A}(-1)$$\mathbb{A}(1)$

$$\mathbb{A}(\rho) = \frac{1-\rho}{2}\mathbb{A}(-1) + \frac{1+\rho}{2}\mathbb{A}(1).\tag{2}$$

Wann sind beide Koeffizienten ( 1 - ρ ) / 2 und ( 1 + ρ ) / 2 nicht negativ. Da also beide ( x ' y ' ) A ( 1 ) ( $|\rho|\le 1$$\color{blue}{(1-\rho)/2}$$\color{blue}{(1+\rho)/2}$als auch( x ' y ' )A(-1)( x y${\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y}}$$\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y}$ sind nicht negativ, so ist die rechte Seite von

$$\eqalign{ &\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(\rho)\pmatrix{x\\y} \\ &= \color{blue}{\left(\frac{1-\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(-1)\pmatrix{x\\y} + \color{blue}{\left(\frac{1+\rho}{2}\right)}\pmatrix{x^\prime&y^\prime}\mathbb{A}(1)\pmatrix{x\\y} \\ &\ge \color{blue}{0}(0) + \color{blue}{0}(0) = 0. }$$

(Ich verwende Farben, um Ihnen zu helfen, die vier beteiligten nicht negativen Begriffe zu erkennen.)

$x$$y$$(1)$$\rho$$|\rho|\le 1$

Es gibt bereits eine großartige Antwort von @whuber, daher werde ich versuchen, anhand einiger Sätze einen alternativen, kürzeren Beweis zu liefern.

1. $A$$Q$$Q^TAQ$
2. $A$$B$$A + B$
3. $A$$q > 0$$qA$

Und nun:

$$\begin{align*} K^* &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \\ &= \begin{pmatrix} K_{1,1} & rK_{1,2} \\ rK_{2,1} & r^2K_{2,2} \\ \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & qK_{2,2} \\ \end{pmatrix}, \text{ where $q = 1 - r^2 > 0$} \\ &= \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix}^T \begin{pmatrix} K_{1,1} & K_{1,2} \\ K_{2,1} & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I & 0 \\ 0 & rI \\ \end{pmatrix} + q\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & K_{2,2} \\ \end{pmatrix} \end{align*}$$

$K$$K_{2, 2}$