Optimierungsproblem

Ein Freund von mir verkauft $k$ Modelle von Mixern. Einige der Mixer sind sehr einfach und billig, andere sind sehr raffiniert und teurer. Seine Daten bestehen für jeden Monat aus den von ihm festgelegten Preisen für jeden Mixer und der Anzahl der verkauften Einheiten für jedes Modell. Um eine Notation herzustellen, kennt er seit Monaten $j=1,\dots,n$ die Vektoren

(p_{1 j}, \dots, p_{k j}) and (n_{1 j}, \dots, n_{k j}),

$(p_{1j},\dots,p_{kj}) \qquad \textrm{and} \qquad (n_{1j},\dots,n_{kj}) \, ,$ wobei

p_{i j}

$p_{ij}$ der Preis des Mischermodells

i

$i$ während des Monats

j

$j$ ist und

n_{i j}

$n_{ij}$ die Anzahl der verkauften Einheiten des Mischermodells

i

$i$ während des Monats

j

$j$ .

Ausgehend von den Daten möchte er Preise $(p^*_1,\dots,p^*_k)$ , die den Wert seiner erwarteten zukünftigen Verkäufe maximieren.

Ich habe einige Ideen, wie ich dieses Problem mit einer Art Poisson-Regression modellieren kann, aber ich möchte das Rad wirklich nicht neu erfinden. Es wäre auch schön zu beweisen, dass das gewünschte Maximum unter bestimmten Bedingungen existiert. Würde mir bitte jemand Hinweise auf die Literatur zu diesem Problem geben?

optimization Zen
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Ich würde wirklich gerne die Gründe für die Ablehnung dieser Frage erfahren! Die einzige Möglichkeit, die ich mir derzeit vorstellen kann, ist, dass Bedenken hinsichtlich der statistischen Natur dieser Frage bestanden. Mir scheint jedoch klar, dass es eine statistische Komponente gibt, da die Verkaufsdaten als zufällige Zählungen aus einer zugrunde liegenden Verteilung betrachtet werden können. Ich nehme an, eine Bearbeitung, die diesen Punkt etwas deutlicher herausstellt, könnte helfen. Aber meine Kommentare hier sind ziemlich spekulativ. (+1)

Kardinal

Tks, Kardinal. Ich werde es in den nächsten Tagen bearbeiten und Informationen hinzufügen, die die Schlussfolgerungsaspekte der Lösung verdeutlichen.

Zen

Antworten:

Angenommen, es gibt eine Funktion die die Preise aller Mixer nimmt und die Anzahl der Verkäufe zurückgibt, . Dann ist das Problem: $f(\cdot)$ $\vec{p}$ $k$ $\vec{n}$

\underset{\vec{p}}{\arg max} {\vec{p}}^{T} f (\vec{p})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max}\;\; \vec{p}^T f(\vec{p})$

Die Lösung für dieses Problem hängt von den Annahmen ab, die Sie treffen möchten. Ich würde zuerst mit dem einfachsten Modell arbeiten, das mir in den Sinn kommt. Nehmen wir an, dass die Anzahl der Verkäufe eines Mixers nur von seinem eigenen Preis abhängt und nicht von den Preisen anderer. Das heißt, die Anzahl der Verkäufe jedes Mixers ist unabhängig. Diese Annahme erlaubt es uns, die Vektorwertfunktion in zu $f(\cdot)$ $k$ zerlegen. Wir haben und das Problem wird: $f_i:p \mapsto n,\;\;i=1,\dots,12$

\underset{\vec{p}}{\arg max} \sum_{i = 1}^{k} p_{i} f_{i} (p_{i})

$\underset{\vec{p}}{\arg\max} \sum_{i=1}^k p_i f_i(p_i)$

Nun müssen wir ein Modell für nehmen . Wir können es erneut versuchen , eine einfache (lineare) Form: $f_i(\cdot)$ . Für jeden Mixer können Sie die Parameter schätzen ( $f_i(p) = \alpha_i p + \beta_i$ ) dieser Funktion anhand der historischen Verkaufsdaten. Einmal geschätzt, sollte die Optimierung der oben genannten Kostenfunktion unkompliziert sein und Ihnen die optimalen Preise liefern, die Sie suchen. $\alpha_i, \beta_i$

Wie Sie in Ihrem Beitrag erwähnt haben, können Sie auch für ein Poisson-Modell annehmen . $f(\cdot)$

Dass die Verkäufe von Mixern unabhängig voneinander sind, ist wahrscheinlich eine naive Annahme (da die Kunden sich viele Mixer ansehen, vergleichen und dann einen kaufen). Also würde ich für den Vektorwert und mit der linearen Modellierung beginnen. Die Optimierung sollte nicht zu schwierig sein. $f(\cdot)$

emrea
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