Betrachten wir ein einfacheres, aber eng verwandtes Problem. Angenommen, Sie haben einen Vektor dessen Einträge eine Korrelationsmatrix . Wenn diagonal ist , dann ist die Varianz des Stichprobenmittelwertes von IS . Wenn alle gleich sind, reduziert sich dies auf das häufigere , und wir können Terme neu anordnen, um die Stichprobengröße als Funktion der beiden Varianzen zu erhalten:xRRxσ2x¯=∑σ2i/n2σ2iσ2/n
n=σ2/σ2x¯
Wenn jedoch nicht diagonal ist, ist die Varianz von gleich:Rx¯
σ2x¯=∑i∑jσiσjrij/n2
In dem Fall, in dem , reduziert sich dies auf:σi=σj ∀ i,j
σ2x¯=σ2∑i∑jrij/n2
In Analogie zum Ausdruck für die Stichprobengröße im unkorrelierten Fall ist das Verhältnis zwischen diesem und die "effektive Stichprobengröße" :σ2ness
ness=σ2/σ2x¯=σ2σ2∑i∑jrij/n2=n2∑i∑jrij
Wenn diagonal ist, dann ist , da die diagonalen Elemente von gleich und alle nicht diagonalen Elemente gleich sind und die effektive Stichprobengröße wie erwartet der tatsächlichen Stichprobengröße entspricht .R∑i∑jrij=nnR10
Der Vergleich der effektiven Stichprobengröße mit der tatsächlichen Stichprobengröße liefert eine Schätzung der Auswirkung der Korrelation ungleich Null auf Ihr Schätzproblem. Wenn Ihre Korrelationen hoch sind (entweder positiv oder negativ) oder Sie viele davon haben, können die Auswirkungen natürlich ziemlich erheblich sein.
Die Beziehung zwischen diesem Beispiel und Ihrem Fall ist wie folgt. Betrachten Sie anstelle der "Stichprobengröße" als die Anzahl der geschätzten Quantile. Die grundlegende Bonferroni-Korrektur passt Vergleiche an. Da bekannt ist, dass die Schätzungen von Quantilen korreliert sind, ist die Bonferroni-Korrektur (bei positiven Korrelationen) zu pessimistisch (selbst für Bonferroni, was im Allgemeinen zunächst ziemlich pessimistisch ist). nn
Betrachten Sie dazu eine Situation, in der Sie zehn Quantile schätzen und die Fehler in den Quantilschätzungen perfekt korrelieren. Angenommen, Sie schätzen die Quantile einer Normalverteilung mit einer bekannten Varianz von eins. Ihre Schätzungen haben alle die Form , wobei vom betreffenden Quantil abhängt. Die Fehler in Ihren Quantilschätzungen sind alle genau gleich dem Fehler in Ihrer Schätzung des Mittelwerts, sodass die Erfassung von punktweisen Konfidenzintervallen dem gleichzeitigen Konfidenzintervall entspricht. Tatsächlich haben Sie nur eine Schätzung, aber Bonferroni (ohne Korrektur) passt Ihre Konfidenzintervalle so an, als hätten Sie zehn Schätzungen, sodass sie breiter sind, als sie sein sollten. Die obige Berechnung mitx¯±kkrij=1 ∀ i,j führt wie gewünscht zu , und das Bonferroni-Intervall unter Verwendung der effektiven Stichprobengröße ist in diesem Fall korrekt.ness=1
Die Quelle befindet sich in dem Artikel (Solow-Polasky), auf den in dem von Ihnen angegebenen Link verwiesen wird. Die Formel lautet Gleichung (7), obwohl die Notation völlig anders ist.