Was ist der Grund für die Standardisierung (Division durch Standardabweichung)?

Warum macht das Teilen eines Datensatzes durch Sigma die Stichprobenvarianz gleich 1? Der Einfachheit halber wird ein Mittelwert von Null angenommen.

Was ist die Intuition dahinter?

Das Teilen durch den Bereich (max-min) ist intuitiv sinnvoll. Standardabweichung jedoch nicht.

Dies ergibt sich aus der Eigenschaft der Varianz. Für eine Zufallsvariable$X$ und eine Konstante $a$, $\mathrm{var}(aX)=a^2\mathrm{var}(x)$. Wenn Sie also die Daten durch ihre Standardabweichung teilen ($\sigma$), $\mathrm{var}(X/\sigma)=\mathrm{var}(X)/\sigma^2=\sigma^2/\sigma^2=1$.

Beim Standardisieren werden lediglich die Einheiten so geändert, dass sie in Einheiten mit "Standardabweichung" angegeben sind. Nach der Standardisierung bedeutet ein Wert von 1,5 "1,5 Standardabweichungen über 0". Wenn die Standardabweichung 8 wäre, würde dies der Aussage "12 Punkte über 0" entsprechen.

Ein Beispiel: Wenn Sie Zoll in Fuß (in Amerika) umrechnen, multiplizieren Sie Ihre Daten in Zoll mit einem Umrechnungsfaktor. $\frac{1 foot}{12 inches}$Dies ergibt sich aus der Tatsache, dass 1 Fuß 12 Zoll entspricht. Sie multiplizieren Ihre Datenpunkte also im Wesentlichen nur mit einer ausgefallenen Version von 1 (dh einem Bruch mit gleichem Zähler und Nenner). Um beispielsweise von 72 Zoll auf Fuß zu gehen, tun Sie dies$72 inches \times \frac{1 foot}{12 inches}=6feet$.

Wenn Sie Scores von Roheinheiten in Standardabweichungseinheiten konvertieren, multiplizieren Sie Ihre Daten in Roheinheiten mit dem Umrechnungsfaktor $\frac{1sd}{\sigma points}$. Wenn Sie also eine Punktzahl von 100 und die Standardabweichung hatten ($\sigma$) war 20, wäre Ihre standardisierte Punktzahl $100 points \times \frac{1 sd}{20 points}=5sd$. Die Standardisierung verändert nur die Einheiten.

Das Ändern der Einheiten eines Datensatzes hat keinen Einfluss auf die Verteilung. Sie ändern einfach die Einheiten des verwendeten Spread-Maßes so, dass sie übereinstimmen. Wenn Ihre ursprünglichen Daten eine Standardabweichung von 20 Punkten hatten und Sie die Einheiten so geändert haben, dass 20 ursprüngliche Punkte 1 neuen standardisierten Einheit entsprechen, beträgt die neue Standardabweichung 1 Einheit (da 20 ursprüngliche Einheiten 1 neuer Einheit entsprechen).