Posteriore Verteilung für die Bayes'sche lineare Regression

Ich habe die Verwendung der Bayes'schen linearen Regression untersucht, bin aber zu einem Beispiel gekommen, über das ich verwirrt bin.

Angesichts des Modells:

$${\bf y} = {\bf \beta}{\bf X} + \bf{\epsilon}$$

Angenommen, und ein ,${\bf \epsilon} \sim N(0, \phi I)$$p(\beta, \phi) \propto \frac{1}{\phi}$

Wie wird erreicht?$p(\beta|\phi, {\bf y})$

Wobei: .$p(\beta|\phi, {\bf y}) \sim N({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1}{\bf X}^{\text{T}}{\bf y}, \phi ({\bf X}^{\text{T}}{\bf X})^{-1})$

In Ihrer endgültigen Formel fehlt eine linke Klammer.

Dies ist ein Standardproblem, das keine schwierige Arbeit erfordert. Die Wikipedia-Seite zur Bayes'schen Regression löst ein schwierigeres Problem. Sie sollten in der Lage sein, denselben Trick anzuwenden (was im Grunde nur eine Form der Vervollständigung des Quadrats ist, da Sie es in Bezug auf $(\beta - m)' V^{-1} (\beta - m)$ für einige und V wollen ) mit zu verwenden weniger Begriffe, über die man sich Sorgen machen muss. Das heißt, Sie kommen zu so etwas:$m$$V$

$$\begin{align}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \boldsymbol\beta)&= (\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{X}^{\rm T}\mathbf{X})(\boldsymbol\beta - \hat{\boldsymbol\beta}) + \mathbf{S} \end{align}$$

wo

$$\begin{align}\mathbf{S} = (\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})^{\rm T}(\mathbf{y}- \mathbf{X} \hat{\boldsymbol\beta})\end{align}$$

im Exponenten.

Siehe auch die Referenzen im Wikipedia-Artikel.

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