Ist eine Interaktion zwischen zwei stetigen Variablen möglich?

Alle meine Variablen sind stetig. Es gibt keine Levels. Ist es möglich, überhaupt eine Interaktion zwischen den Variablen zu haben?

Ja, warum nicht? In diesem Fall gilt die gleiche Überlegung wie für kategoriale Variablen: Die Auswirkung von auf das Ergebnis Y ist abhängig vom Wert von X 2 nicht gleich . Zur besseren Veranschaulichung können Sie sich die Werte von X 1 vorstellen, wenn X 2 hohe oder niedrige Werte annimmt. Im Gegensatz zu kategorialen Variablen wird die Interaktion hier nur durch das Produkt von X 1 und X 2 dargestellt . Bemerkenswerterweise ist es besser, zuerst die beiden Variablen zu zentrieren (so dass der Koeffizient für beispielsweise X 1 als die Auswirkung von X 1 bei $X_1$$Y$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_2$$X_1$$X_1$ liegt im Stichprobenmittel).$X_2$

Wie von @whuber freundlicherweise vorgeschlagen, besteht ein einfacher Weg, um zu sehen, wie mit Y als Funktion von X 2 variiert, wenn ein Interaktionsterm enthalten ist, darin, das Modell E ( Y | X ) = β 0 + β 1 X aufzuschreiben 1 + β 2 X 2 + β 3 X 1 X 2 .$X_1$$Y$$X_2$$\mathbb{E}(Y|X)=\beta_0+\beta_1X_1+\beta_2X_2+\beta_3X_1X_2$

Dann ist ersichtlich, dass der Effekt einer Erhöhung von eine Einheit, wenn X 2 konstant gehalten wird, ausgedrückt werden kann als:$X_1$$X_2$

$X_2$$X_1$$\beta_2+\beta_3X_1$$X_1$$\beta_1$$X_2$$\beta_2$

Unter Multiple Regression: Interaktionen testen und interpretieren (Leona S. Aiken, Stephen G. West und Raymond R. Reno (Sage Publications, 1996)) finden Sie einen Überblick über die verschiedenen Arten von Interaktionseffekten bei multipler Regression . (Dies ist wahrscheinlich nicht das beste Buch, aber über Google erhältlich.)

Hier ist ein Spielzeugbeispiel in R:

library(mvtnorm)
set.seed(101)
n <- 300                      # sample size
S <- matrix(c(1,.2,.8,0,.2,1,.6,0,.8,.6,1,-.2,0,0,-.2,1), 
            nr=4, byrow=TRUE) # cor matrix
X <- as.data.frame(rmvnorm(n, mean=rep(0, 4), sigma=S))
colnames(X) <- c("x1","x2","y","x1x2")
summary(lm(y~x1+x2+x1x2, data=X))
pairs(X)

wo die Ausgabe tatsächlich lautet:

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept) -0.01050    0.01860  -0.565    0.573    
x1           0.71498    0.01999  35.758   <2e-16 ***
x2           0.43706    0.01969  22.201   <2e-16 ***
x1x2        -0.17626    0.01801  -9.789   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

Residual standard error: 0.3206 on 296 degrees of freedom
Multiple R-squared: 0.8828, Adjusted R-squared: 0.8816 
F-statistic: 743.2 on 3 and 296 DF,  p-value: < 2.2e-16 

Und so sehen die simulierten Daten aus:

$Y$$X_2$$X_1$

library(Hmisc)
X$x1b <- cut2(X$x1, g=5) # consider 5 quantiles (60 obs. per group)
coplot(y~x2|x1b, data=X, panel = panel.smooth)