Wie teste ich, ob die Steigungen im linearen Modell einem festen Wert entsprechen?

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Angenommen, wir haben ein einfaches lineares Regressionsmodell und möchten die Nullhypothese testen $Z = aX + bY$ gegen die allgemeine Alternative. $H_0: a=b=\frac{1}{2}$

Ich denke , dass man die Schätzung verwendet und und ferner eine Anwendung -Test das Konfidenzintervall erhalten um $\hat{a}$ $SE(\hat{a})$ $Z$ . Ist das ok? $\frac{1}{2}$

Die andere Frage hängt stark mit dieser zusammen. Angenommen, wir haben eine Stichprobe und berechnen Statistiken $\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$ $\chi^2$

Können diese Statistiken verwendet werden, um dieselbe Nullhypothese zu testen?

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(z_{i} - \frac{x_{i} + y_{i}}{2})^{2}}{\frac{x_{i} + y_{i}}{2}} .

$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$

hypothesis-testing regression Lan
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$X$ $Y$

Z = a X + b Y + ϵ

$Z = a X + b Y + \epsilon$

ist algebraisch das gleiche wie

Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2}) X + (b - \frac{1}{2}) Y + ϵ = α X + β Y + ϵ .

$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$

$\alpha = a - \frac{1}{2}$ $\beta =b - \frac{1}{2}$ $\epsilon$ $\hat{\alpha}$ $\hat{\beta}$ $\alpha = \beta = 0$

$\frac{x_i+y_i}{2}$ $Z$ $X$ $Y$ $z_i - (x_i+y_i)/2$

whuber
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Danke für deine Antwort. Es war sehr nützlich. Eigentlich war ich bei der Formulierung des zweiten Teils der Frage nicht sehr präzise. Stellen Sie sich vor, xs und ys sind positive Zahlen, gemessen in denselben Einheiten. Die zs (beobachtetes Ergebnis) messen irgendwie die "Interaktion" in dem Sinne, dass wenn es keine Interaktion gibt, die zs (x + y) / 2 (erwartetes Ergebnis) sein sollten. Aus meiner Sicht war es also dasselbe, die Regression mit der Nullhypothese a = b = 1/2 zu verwenden oder die Anpassungsgüte unter Verwendung der Pearson-Chi ^ 2-Statistik zu vergleichen. Ist das sinnvoll? Vielen Dank!

Lan

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@Lan Ich denke, Wolfgangs Antwort zeigt gut, wie man den von Ihnen vorgeschlagenen Test macht. Es ist ein Beispiel dafür, was es bedeutet, eine Hypothese "auf die übliche Weise" zu testen.

whuber

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$Z = aX + bY$ $SSE_f$ $Z - \hat{Z}$ $\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$ $SSE_r$

Berechnen Sie jetzt:

$((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

$n$ $H_0$ $2$ $n-2$

Hier ist ein Beispiel mit R:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

$\alpha$

$Z = aX + bY$ $Z = c + aX + bY$

Wolfgang
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Wie teste ich, ob die Steigungen im linearen Modell einem festen Wert entsprechen?

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