Varianz zweier gewichteter Zufallsvariablen

Lassen:

Standardabweichung der Zufallsvariablen$A =\sigma_{1}=5$

Standardabweichung der Zufallsvariablen$B=\sigma_{2}=4$

Dann ist die Varianz von A + B:

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}p_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Wo:

$p_{1,2}$ ist die Korrelation zwischen den beiden Zufallsvariablen.

$w_{1}$ ist das Gewicht der Zufallsvariablen A.

$w_{2}$ ist das Gewicht der Zufallsvariablen B.

$w_{1}+w_{2}=1$

Die folgende Abbildung zeigt die Varianz von A und B, wenn sich das Gewicht von A für die Korrelationen -1 (gelb), 0 (blau) und 1 (rot) von 0 auf 1 ändert.

Wie hat die Formel zu einer geraden Linie (rot) geführt, wenn die Korrelation 1 ist? Soweit ich das beurteilen kann, vereinfacht sich die Formel bei zu:$p_{1,2}=1$

$Var(w_{1}A+w_{2}B)= w_{1}^{2}\sigma_{1}^{2}+w_{2}^{2}\sigma_{2}^{2} +2w_{1}w_{2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Wie kann ich das in Form von ausdrücken ?$y=mx+c$

Vielen Dank.

Berechnen Sie mit$w_1 + w_2 = 1$

$$\eqalign{ \text{Var}(w_1 A + w_2 B) &= \left( w_1 \sigma_1 + w_2 \sigma_2 \right)^2 \cr &= \left( w_1(\sigma_1 - \sigma_2) + \sigma_2 \right)^2 \text{.} }$$

Dies zeigt, dass bei der Graph der Varianz gegenüber (in der Abbildung seitlich dargestellt) eine Parabel ist, die bei zentriert ist . Kein Teil einer Parabel ist linear. Mit und liegt das Zentrum bei : weit unter dem Diagramm auf der Skala, in der es gezeichnet wird. Sie sehen also ein kleines Stück einer Parabel, das linear erscheint.$\sigma_1 \ne \sigma_2$$w_1$$\sigma_2 / (\sigma_2 - \sigma_1)$$\sigma_1 = 5$$\sigma_2 = 4$$-5$

Wenn , die Varianz ist eine lineare Funktion von . In diesem Fall wäre das Diagramm ein perfekt vertikales Liniensegment.$\sigma_1 = \sigma_2$$w_1$

Übrigens, Sie kannten diese Antwort bereits ohne Berechnung, da Grundprinzipien implizieren, dass die Varianzdarstellung nur dann eine Linie sein kann, wenn sie vertikal ist. Schließlich gibt es kein mathematisches oder statistisches Verbot, auf einen Wert zwischen und : Jeder Wert von bestimmt eine neue Zufallsvariable (eine lineare Kombination der Zufallsvariablen A und B) und muss daher einen nicht negativen Wert haben für seine Varianz. Daher müssen alle diese Kurven (auch wenn sie auf den gesamten vertikalen Bereich von ausgedehnt sind ) rechts von der vertikalen Achse liegen. Das schließt alle Linien außer vertikalen aus.$w_1$$0$$1$$w_1$ $w_1$

Auftragung der Varianz für :$\rho = 1 - 2^{-k}, k = -1, 0, 1, \ldots, 10$

Es ist nicht linear. Die Formel besagt, dass es nicht linear ist. Vertraue deinem mathematischen Instinkt!

Aufgrund der Skalierung erscheint es im Diagramm nur linear mit und . Probieren Sie es selbst aus: Berechnen Sie die Steigungen an einigen Stellen und Sie werden feststellen, dass sie sich unterscheiden. Sie können den Unterschied übertreiben, indem Sie beispielsweise auswählen.σ 2 = 4 σ 1 = $\sigma_{1}=5$$\sigma_{2}=4$$\sigma_{1}=37$

Hier ist ein R-Code:

a <- 5; b <- 4; p <- 1
f <- function(w) w^2*a^2 + (1-w)^2*b^2 + 2*w*(1-w)*p*a*b
curve(f, from = 0, to = 1)

Wenn Sie einige Pisten überprüfen möchten:

(f(0.5) - f(0.4)) / 0.1
(f(0.8) - f(0.7)) / 0.1