Nachweis der Beziehung zwischen Gefährdungsrate, Wahrscheinlichkeitsdichte, Überlebensfunktion

Ich lese ein bisschen über Überlebensanalysen und die meisten Lehrbücher geben das an

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

wobei $h(t)$ die Gefährdungsrate ist,

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ die Dichtefunktion,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ und

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

Auch sie geben das an

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

Die meisten Lehrbücher (zumindest die, die ich habe) liefern weder für (1) noch für (5) Beweise. Ich glaube, ich habe es geschafft, (1) wie folgt durchzukommen

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ was wegen (2) und (4) werden zu $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ aber $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ daher $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

Wie beweist man (5)?

survival kein Bestand
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Haben Sie bemerkt, dass die Ableitung von ?

h (t)

$h(t)$

- \log S (t)

$- \log S(t)$

Stéphane Laurent

Ja, das verstehe ich auch nicht ...

Nostock

In Ihrem Beweis von (1) sollten Sie zuerst argumentieren, dass die 2. Wahrscheinlichkeit im Zähler 1 ist, und dann (2) und (4) anwenden.

Ocram

Warum ist die Reihenfolge wichtig?

Nostock

Wenn Sie Ihre Bestellung beibehalten, sollten Sie argumentieren, dass das Limit als (anstelle der Probe selbst) gleich . Wie auch immer, das ist ein Detail ...

Δ t \to 0

$\Delta t \rightarrow 0$

1

$1$

ocram

Antworten:

Die Ableitung von ist Daher haben wir, wie von @ StéphaneLaurent erwähnt, wobei die letzte Gleichheit aus (1) folgt. $S$

\frac{d S (t)}{d t} = \frac{d (1 - F (t))}{d t} = - \frac{d F (t)}{d t} = - f (t)

$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} = \frac{f (t)}{S (t)} = h (t)

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$

Nehmen wir das Integral auf beiden Seiten der vorherigen Beziehung, so erhalten wir so dass

- \log (S (t)) = \int_{0}^{t} h (s) d s

$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (s) d s}

$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$

Dies ist Ihre Gleichung (5). Der integrale Bestandteil des Exponentials ist die integrierte Gefahr, auch kumulative Gefahr [so dass ]. $H(t)$ $S(t) = \exp(-H(t))$

ocram
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Könnten Sie bitte etwas expliziter sein unter

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$

Nostock

Dies ist die Chaine-Regel. Wir haben so dass

\frac{d \log (x)}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$

\frac{d \log (f (x))}{d x} = \frac{\frac{d f (x)}{d x}}{x}

$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$

ocram

Sollte das x auf der rechten Seite der letzten Gleichung f (x) sein, dh um y = log S (t) zu differenzieren. Sei u = S (t) also . Zusätzlich haben wir und so . Nach der Kettenregel gilt also

\frac{d u}{d t} = d S (t) / d t = S^{'} (t)

$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$

y = l o g S (t) = l o g (u)

$y = log S(t) = log(u)$

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S (t)}

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{S (t)} S^{'} (t) = \frac{S^{'} (t)}{S (t)}

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$

user1420372

@ user1420372: Ja, du hast recht. Es sollte f (x) gewesen sein.

Ocram

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\$

= \frac{f (t)}{1 - F (t)}

$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$

= \frac{f (t)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s}

$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$

Integrieren Sie beide Seiten: Unterscheide beide Seiten:

\int_{0}^{t} h (s) d s = \int_{0}^{t} \frac{f (s)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s} d s

$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$

= - \ln [1 - \int_{0}^{t} f (s) d s]_{0}^{t} + c

$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$

1 - \int_{0}^{t} f (s) d s = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$

- f (t) = - h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

f (t) = h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$

S (t) = \frac{f (t)}{h (t)}

$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$

Ersetzen Sie durch , Daher ist $f(t)$ $h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

S (t) = \frac{h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]}{h (t)}

$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$

S (t) = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

Vara
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Wir beweisen die folgende Gleichung: Beweis:

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u}

$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$

Wir beweisen zuerst Beweis:

f (t) = - \frac{d S (t)}{d t}

$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$

f (t) = \frac{d F (t)}{d t} = \frac{d P (T < t)}{d t} = \frac{d (1 - S (t))}{d t} = - \frac{d S (t)}{d t} ◼

$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$ Und wir wissen, dass Ersetzen Sie durch wir erhalten dann setzen Sie unseren Hauptbeweis fort. Durch Integrieren der beiden Seiten der obigen Gleichung ergibt sich Dann erhalten wir das Ergebnis

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$

f (t)

$f(t)$

h (t)

$h(t)$

h (t) = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$

\int_{0}^{t} h (u) d u = \int_{0}^{t} \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} d t = \int_{0}^{t} - S (t)^{- 1} d S (t) = - [\log S (t) - \log S (0)] = - \log S (t)

$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u} ◼

$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$

CCKevin Wang
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