Testen Sie die Unabhängigkeit, wenn mir ein Behälter mit einer 2x2-Kontingenz fehlt

Ich suche Hilfe bei der Entwicklung eines Hypothesentests für die folgende Situation.

1. Ich habe eine radioaktive Quelle, die von Zeit zu Zeit ein Partikel ausspuckt.

2. Außerdem habe ich zwei Partikeldetektoren: einen Detektor für rote Partikel und einen Detektor für grüne Partikel. Immer wenn der Detektor für rote Partikel ein Partikel erkennt, blinkt ein rotes Licht. lassen das Ereignis bezeichnen , daß das Teilchen durch den roten Detektor detektiert wurde, und das Komplement Fall , dass das Teilchen nicht durch den roten Detektor detektiert wurde. Immer wenn der Detektor für grüne Partikel ein Partikel erkennt, blinkt ein grünes Licht. Sei der Fall, dass der grüne Detektor das Teilchen erkennt, und dass dies nicht der Fall ist . Somit fällt jedes emittierte Teilchen in eine von vier Kategorien:r G $R$$r$$G$$g$

   • von beiden Detektoren ( ) erkannt ,$RG$
   • vom roten Detektor erkannt, aber nicht vom grünen Detektor ( ),$Rg$
   • vom grünen Detektor erkannt, aber nicht vom roten Detektor ( ), oder$rG$
   • wird von keinem der Detektoren ( ) erkannt .$rg$

3. Jedes Mal, wenn ein Partikel emittiert wird, hat der rote Detektor eine gewisse Wahrscheinlichkeit, das Partikel zu erfassen, und der grüne Detektor hat eine gewisse Wahrscheinlichkeit, das Partikel zu erfassen. (Sie lösen niemals eine falsche Erkennung aus, wenn kein Partikel vorhanden ist.) Ich weiß, dass jedes Partikel identisch und unabhängig von allen anderen Partikeln behandelt wird, aber ich weiß nicht, ob die beiden Detektoren unabhängig voneinander sind. Es ist möglich, dass sie unabhängig sind (dh ) oder dass sie korreliert sind (dh \ Pr [RG] \ ne \ Pr [R] \ Pr [ G] ); Ich weiß nicht, was a priori der Fall ist.$\Pr[RG] = \Pr[R] \Pr[G]$$\Pr[RG] \ne \Pr[R] \Pr[G]$

4. Ich zähle die Anzahl der Erkennungen (dh wie oft beide Detektoren etwas erkannt haben), die Anzahl der Erkennungen (dh wie oft der rote Detektor etwas erkannt hat, aber nicht den grünen) und die Anzahl der Detektionen. Leider habe ich keine Möglichkeit , die Anzahl der zu messen -Situationen, da diese Partikel nicht durch entweder des Detektors detektiert werden. Am Ende des Experiments habe ich drei nicht negative ganze Zahlen, die diese Zählungen darstellen.$RG$$Rg$$rG$$rg$

Ich möchte die Hypothese testen, dass die beiden Detektoren unabhängig sind, dh dass Ereignis unabhängig von Ereignis . Kann jemand helfen, einen Weg vorzuschlagen, um den Wert dieser Hypothese zu berechnen , wenn 3 Zahlen aus einem solchen Experiment vorliegen?$H$$R$$G$$p$

Ich wäre vollkommen zufrieden mit einem Computeralgorithmus / einer Computerprozedur zur Berechnung des Werts. Ich brauche keine einfache Formel; etwas, das von einem Computer berechnet werden könnte, würde ausreichen.$p$

Hier ist eine andere Möglichkeit, dies anzuzeigen. Wir könnten eine 2x2-Kontingenztabelle wie diese bilden:

     G | G
  ---------
R | 17 22
r | 12?

Aufnahme, dass wir 17 Ereignisse, 22 Ereignisse und so weiter gesehen haben. Leider ist die untere rechte Zelle leer, da wir nicht wissen, wie viele Partikel emittiert wurden. Wenn wir für alle vier Zellen gezählt hätten, könnten wir vermutlich den exakten Fisher-Test verwenden, aber das tun wir nicht. Außerdem erhalten wir weder noch (ich denke, es handelt sich um Störparameter) oder die Gesamtzahl der emittierten Partikel.$RG$$Rg$$rg$$\Pr[R]$$\Pr[G]$

Irgendwelche Vorschläge?

Wenn die fehlende Anzahl nahe 22 * ​​12/17 wäre, würde die Tabelle unabhängig erscheinen. Dies steht im Einklang mit Ihren Beobachtungen. Wenn die fehlende Anzahl weit von diesem Wert entfernt ist, würde die Tabelle einen starken Mangel an Abhängigkeit aufweisen. Auch dies steht im Einklang mit Ihren Beobachtungen. Offensichtlich können Ihre Daten die beiden Fälle nicht unterscheiden: Unabhängigkeit oder deren Fehlen sind nicht identifizierbar . Daher besteht Ihre einzige Hoffnung darin, zusätzliche Annahmen zu treffen, z. B. einen Prior für die fehlende Anzahl (äquivalent für die Gesamtzahl der emittierten Partikel).