Berechnen Sie die Unsicherheit der linearen Regressionssteigung basierend auf der Datenunsicherheit

Wie berechnet man die Unsicherheit der linearen Regressionssteigung basierend auf der Datenunsicherheit (möglicherweise in Excel / Mathematica)?

Beispiel: Lassen Sie uns Datenpunkte (0,0), (1,2), (2,4), (3,6), (4,8), ... (8, 16) haben, aber jeder y-Wert hat eine Unsicherheit von 4. Die meisten Funktionen, die ich gefunden habe, würden die Unsicherheit als 0 berechnen, da die Punkte perfekt mit der Funktion y = 2x übereinstimmen. Wie auf dem Bild gezeigt, stimmt y = x / 2 aber auch mit den Punkten überein. Es ist ein übertriebenes Beispiel, aber ich hoffe, es zeigt, was ich brauche.

EDIT: Wenn ich versuche, etwas mehr zu erklären, während jeder Punkt im Beispiel einen bestimmten Wert von y hat, tun wir so, als wüssten wir nicht, ob es wahr ist. Zum Beispiel könnte der erste Punkt (0,0) tatsächlich (0,6) oder (0, -6) oder irgendetwas dazwischen sein. Ich frage, ob es in einem der populären Probleme einen Algorithmus gibt, der dies berücksichtigt. Im Beispiel fallen die Punkte (0,6), (1,6,5), (2,7), (3,7,5), (4,8), ... (8, 10) immer noch in den Unsicherheitsbereich. Sie könnten also die richtigen Punkte sein, und die Linie, die diese Punkte verbindet, hat eine Gleichung: y = x / 2 + 6, während die Gleichung, die wir erhalten, wenn wir die Unsicherheiten nicht berücksichtigen, die Gleichung hat: y = 2x + 0. Also die Unsicherheit von k ist 1,5 und von n ist 6.

TL; DR: Im Bild gibt es eine Linie y = 2x, die mit der Anpassung der kleinsten Quadrate berechnet wird und perfekt zu den Daten passt. Ich versuche herauszufinden, wie viel k und n in y = kx + n sich ändern können, aber trotzdem zu den Daten passen, wenn wir die Unsicherheit in y-Werten kennen. In meinem Beispiel beträgt die Unsicherheit von k 1,5 und in n 6. Im Bild gibt es die 'beste' Anpassungslinie und eine Linie, die kaum zu den Punkten passt.

$k$$n$$y = k x + n$$y$

$y$$100(1-\alpha)$$(k,n)$$\sum (k x_i + n - y_i)^2/\sigma_i^2 < \chi_{d,\alpha}^2$$\sigma_i$$y_i$$d$$(x,y)$$\chi_{d,\alpha}^2$$\alpha$$d$

$y_i$$y_i$$(k,n)$$204 (k-2)^2 + 72n(k-2) + 9n^2 = 152.271$

Ich habe mit diesem einfachen Code in Python ein naives direktes Sampling durchgeführt:

import random
import numpy as np
import pylab
def uncreg(x, y, xu, yu, N=100000):
    out = np.zeros((N, 2))
    for n in xrange(N):
        tx = [s+random.uniform(-xu, xu) for s in x]
        ty = [s+random.uniform(-yu, yu) for s in y]
        a, b = np.linalg.lstsq(np.vstack([tx, np.ones(len(x))]).T, ty)[0]
        out[n, 0:2] = [a, b]
    return out
if __name__ == "__main__":
    P = uncreg(np.arange(0, 8.01), np.arange(0, 16.01, 2), 0.1, 6.)
    H, xedges, yedges = np.histogram2d(P[:, 0], P[:, 1], bins=(50, 50))
    pylab.imshow(H, interpolation='nearest', origin='low', aspect='auto',
                 extent=[xedges[0], xedges[-1], yedges[0], yedges[-1]])

und bekam das:

Natürlich können Sie Pdie Daten für die gewünschten Daten abbauen oder die Unsicherheitsverteilungen ändern.

Ich war vorher auf der gleichen Jagd und ich denke, dies könnte ein nützlicher Ausgangspunkt sein. Die Excel-Makrofunktion gibt lineare Anpassungsterme und ihre Unsicherheiten basierend auf Tabellenpunkten und Unsicherheiten für jeden Punkt in beiden Ordinaten an. Vielleicht schauen Sie in dem Papier nach, auf dem es basiert, um zu entscheiden, ob Sie es in einer anderen Umgebung implementieren, ändern usw. möchten. (Für Mathematica sind einige Vorarbeiten erledigt.) Es scheint eine gute Dokumentation auf der Oberfläche zu haben, aber Hafen Das Makro wurde nicht geöffnet, um zu sehen, wie gut es mit Anmerkungen versehen ist.