Wie berechne ich beim Anpassen einer Kurve das 95% -Konfidenzintervall für meine angepassten Parameter?

Ich passe Kurven an meine Daten an, um einen Parameter zu extrahieren. Ich bin mir jedoch nicht sicher, wie sicher dieser Parameter ist und wie ich sein % -Konfidenzintervall berechnen / ausdrücken würde .$95$

Angenommen, für einen Datensatz, der Daten enthält, die exponentiell abfallen, passe ich jedem Datensatz eine Kurve an. Dann ist die Information, die ich extrahieren möchte, der Exponent . Ich kenne die Werte von t und den Wert von a, an dem ich nicht interessiert bin (das ist eine Variable, die aus der Population stammt, nicht der Prozess, den ich zu modellieren versuche).$b$$t$$a$

Ich verwende eine nichtlineare Regression, um diese Parameter anzupassen. Ich weiß jedoch nicht, wie ich das % -Konfidenzintervall für eine Methode berechnen soll, daher sind auch umfassendere Antworten willkommen.$95$

Wie berechne ich das 95 % -Konfidenzintervall , wenn ich meinen Wert für ? Danke im Voraus!$b$$95$

Das Problem beim Linearisieren und anschließenden Verwenden der linearen Regression besteht darin, dass die Annahme einer Gaußschen Verteilung von Residuen für die transformierten Daten wahrscheinlich nicht zutrifft.

Es ist normalerweise besser, nichtlineare Regression zu verwenden. Die meisten nichtlinearen Regressionsprogramme geben das Standardfehler- und Konfidenzintervall der am besten geeigneten Parameter an. Wenn dies bei Ihnen nicht der Fall ist, können diese Gleichungen hilfreich sein.

Jeder Standardfehler wird unter Verwendung dieser Gleichung berechnet:

SE(Pi) = sqrt[ (SS/DF) * Cov(i,i) ]]

• Pi: i-ter einstellbarer (nicht konstanter) Parameter
• SS: Summe der quadratischen Residuen
• DF: Freiheitsgrade (Anzahl der Datenpunkte minus Anzahl der durch Regression angepassten Parameter)
• Cov (i, i): i-tes diagonales Element der Kovarianzmatrix
• sqrt (): Quadratwurzel

Und hier ist die Gleichung, um das Konfidenzintervall für jeden Parameter aus dem Best-Fit-Wert, seinem Standardfehler und der Anzahl der Freiheitsgrade zu berechnen.

From [BestFit(Pi)- t(95%,DF)*SE(Pi)]  TO  [BestFit(Pi)+
 t(95%,DF)*SE(Pi)] 

• BestFit (Pi) ist der beste Anpassungswert für den i-ten Parameter
• t ist der Wert aus der t-Verteilung für 95% Konfidenz für die angegebene Anzahl von DF.

• DF ist Freiheitsgrade.

  Beispiel mit Excel für 95% Konfidenz (also Alpha = 0,05) und 23 Freiheitsgrade: = TINV (0,05,23) DF entspricht Freiheitsgraden (Anzahl der Datenpunkte minus Anzahl der durch Regression angepassten Parameter)

Wenn Sie glauben, dass ein geeignetes Modell für Ihre Daten ist:

$f = ae^{-bt}$

Anschließend können Sie Ihre Antwortdaten so protokollieren, dass ein geeignetes Modell lautet:

$f' = a' -bt$

$f' = ln(f)$$a' = ln(a)$

# Rough simulated data set.
set.seed(1)
a <- 50; b <- 0.2; n <- 25
x <- 1:n
y <- a*(exp(-b * x))
y <- y + rnorm(n, sd=0.25)
y <- ifelse(y>0, y, 0.1)
plot(x,y)

# Linearise:
y2 <- log(y)
plot(x,y2)

# Fit model to transformed data
model <- lm(y2 ~ x)
summary(model)
confint(model)

# Or:
param <- summary(model)$coefficients[, 1]; se <- summary(model)$coefficients[, 2]
param + qt(0.975, 23) * se
param - qt(0.975, 23) * se

$~N(0,\sigma^2)$