Hat die Cox-Regression eine zugrunde liegende Poisson-Verteilung?

Unser kleines Team hatte eine Diskussion und blieb stecken. Weiß jemand, ob Cox-Regression eine zugrunde liegende Poisson-Verteilung hat. Wir hatten eine Debatte darüber, dass die Cox-Regression mit konstanter Risikodauer möglicherweise Ähnlichkeiten mit der Poisson-Regression mit einer robusten Varianz aufweist. Irgendwelche Ideen?

Ja, es besteht ein Zusammenhang zwischen diesen beiden Regressionsmodellen. Hier ist eine Illustration:

Angenommen, das ist über die Zeit konstant: . In diesem Fall ist die Überlebensfunktion$h_{0}(t) = \lambda$

$S(t) = \exp\left(-\int_{0}^{t} \lambda du\right) = \exp(-\lambda t)$

und die Dichtefunktion ist

$f(t) = h(t) S(t) = \lambda \exp(-\lambda t)$

Dies ist das PDF einer exponentiellen Zufallsvariablen mit der Erwartung .$\lambda^{-1}$

Eine solche Konfiguration ergibt das folgende parametrische Cox-Modell (mit offensichtlichen Notationen):

$h_{i}(t) = \lambda \exp(x'_{i} \beta)$

In der Parametereinstellung werden die Parameter nach der klassischen Likelihood-Methode geschätzt. Die log-Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch

$l = \sum_{i} \left\{ d_{i}\log(h_{i}(t_{i})) - t_{i} h_{i}(t_{i}) \right\}$

Dabei ist der Ereignisindikator.$d_{i}$

Bis auf eine additive Konstante ist dies nichts anderes als derselbe Ausdruck wie die log-Wahrscheinlichkeit der als Realisierungen einer Poisson-Variablen mit dem Mittelwert .$d_{i}$$\mu_{i} = t_{i}h_{i}(t)$

Folglich kann man Schätzungen unter Verwendung des folgenden Poisson-Modells erhalten:

$\log(\mu_{i}) = \log(t_{i}) + \beta_0 + x_{i}'\beta$

Dabei ist .$\beta_0 = \log(\lambda)$