Bedingte Homoskedastizität vs. Heteroskedastizität

Aus der Ökonometrie von Fumio Hayashi (Kap. 1):

Bedingungslose Homoskedastizität:

• Das zweite Moment der Fehlerterme E (εᵢ²) ist über die Beobachtungen hinweg konstant
• Die funktionelle Form E (εᵢ² | xi) ist über die Beobachtungen hinweg konstant

Bedingte Homoskedastizität:

• Die Einschränkung, dass das zweite Moment der Fehlerterme E (εᵢ²) über die Beobachtungen hinweg konstant ist, wird aufgehoben
  • Somit kann sich das bedingte zweite Moment E (εᵢ² | xi) durch mögliche Abhängigkeit von x differ über die Beobachtungen hinweg unterscheiden.

Also dann meine Frage:

Inwiefern unterscheidet sich die bedingte Homoskedastizität von der heteroskedastischen?

Ich verstehe, dass es eine Heteroskedastizität gibt, wenn sich der zweite Moment je nach Beobachtung unterscheidet (xᵢ).

Ich werde zunächst nur Hayashi zitieren, um allen anderen zu helfen, die einen Kommentar abgeben möchten. Ich habe versucht, die Formatierung und die ursprünglichen Gleichungsnummern beizubehalten.

Zitat aus Hayashi Seite 126, Abschnitt 2.6:

Bedingte versus bedingungslose Homoskedastizität

Die Annahme der bedingten Homoskedastizität lautet:

$$\begin{align*} \tag{2.6.1} E(\epsilon_i^2|\mathbf{x}_i)=\sigma^2>0. \end{align*}$$ $E(\epsilon_i^2)$$\sigma^2$

Zitat beenden.

Einige relevante Gleichungen aus Hayashis Seiten 11-14 (Abschnitt 1.1):

$$\begin{align*} \tag{1.1.12} E(\epsilon_i^2|\mathbf{X})=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,\ldots,n) \\\ \tag{1.1.17} E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2>0 \quad (i=1,2,.\ldots,n). \end{align*}$$

$(\epsilon_i,\mathbf x_i)$$i$$E(\epsilon_i^2)$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$i$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)$$i$$\mathbf x_i$

[Keine weiteren Zitate von Hayashi, nur mein Verständnis nach diesem Punkt.]

$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=E[E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)]=E[\sigma^2]=\sigma^2$

$\mathbf x_i$$\epsilon_i$$\sigma^2$$E(\epsilon_i^2)=\sigma^2$$E(\epsilon_i^2|\mathbf x_i)\ne\sigma^2$; Examples 2.6 (page 127) illustrates this. It also perhaps answers the question of the overlap between homo- and heteroskedasticity: it gives an example where there is unconditional homoskedasticity as well as conditional heteroskedasticity.

These are confusing concepts, especially without a lot of experience with conditional expectations/distributions, but hopefully this adds some clarity (and source material for any future discussions).