Gibt es Abkürzungen für die numerische Approximation von Systemen gewöhnlicher Differentialgleichungen, wenn diese autonom sind?

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Bestehende Algorithmen zum Lösen von ODEs verarbeiten Funktionen , wobei . In vielen physikalischen Systemen ist die Differentialgleichung jedoch autonom, so dass , , wobei das weggelassen wird. Welche Verbesserungen können mit dieser vereinfachenden Annahme bei bestehenden numerischen Methoden festgestellt werden? Wenn zum Beispiel , wird das Problem zu und wir wenden uns einer völlig anderen Klasse von Algorithmen zur Integration eindimensionaler Integrale zu. Für besteht die maximal mögliche Verbesserung darin, die Dimension von reduzierenyRndydydt=f(y,t)yRnyRntn=1t=dydydt=f(y)yRntn=1 n>1yt=dyf(y)n>1yum 1, da der zeitabhängige Fall simuliert werden kann, indem an angehängt wird und die Domäne von von in .y y R n R n + 1tyyRnRn+1

Aufschieben der tatsächlichen Arbeit
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Antworten:

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Ich würde sagen, eine wesentliche Verbesserung besteht darin, dass Sie im Rahmen von Zeitschrittansätzen, bei denen Sie Verwendung einer Lösungskarte propagieren , dies können Bestimmen Sie den Propagator (oder zumindest Teile davon) einmal und verwenden Sie ihn dann bei jedem Zeitschritt wieder.ynyn+1=U(yn)U

Im linearen Fall hätten Sie beispielsweise , wobei eine Matrix ist. Der Lösungsoperator besteht hauptsächlich aus einer Exponentialmatrix. Bei autonomen Systemen ist diese kostspielige Exponentialauswertung der Matrix nur einmal für die vollständige Ausbreitung erforderlich - im Gegensatz zu einem zeitabhängigen System, bei dem Sie diese Auswertung bei jedem Zeitschritt durchführen müssen.ty=AyAU(y)=exp(AΔt)y

Für nichtlineare Systeme ist es nicht so einfach, aber je nach Algorithmus können bestimmte kostspielige Auswertungen wiederverwendet werden.

Carlosvalderrama
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