Warum kann Uranus ein reguläres Satellitensystem unterstützen?

Uranus hat eine Neigung von 98 °, was bedeutet, dass die gegenseitige Neigung zwischen einem Satelliten, der in seiner Äquatorialebene umkreist, und der Umlaufbahn des Uranus um die Sonne den kritischen Winkel für Kozai-Schwingungen überschreiten würde . Dies würde die Satelliten zu hohen Exzentrizitäten führen, was wahrscheinlich die Stabilität des Systems extrem beeinträchtigen würde. Uranus beherbergt jedoch ein System regulärer Satelliten auf nahezu kreisförmigen Umlaufbahnen in seiner Äquatorebene.

Dies deutet darauf hin, dass etwas die Kozai-Schwingungen für die regulären Satelliten unterdrückt. Was macht das also? Ich vermute, dass dies entweder mit der nicht sphärischen Form des Planeten oder mit Gravitationswechselwirkungen zwischen den Monden zusammenhängt, aber ich bin mir nicht sicher, welcher Faktor relevanter wäre.

Die Sonnenstörungen auf den meisten Satelliten von Uranus sind in der Tat sehr gering, was das Fehlen der in der Frage festgestellten Instabilitäten erklären kann.

Ein Störungseffekt hängt von der Größe der Sonnenstörungsbeschleunigungen relativ zur gewöhnlichen inversen quadratischen Anziehungskraft des Primärkörpers ab. Der Skalierungsfaktor ( in Texten zur Mondtheorie wie Airys 'Mathematical Tracts' und Godfrays 'Lunar Theory' oft als ) nimmt mit der Trennung des Satelliten von der Primärtheorie zu, er ist auch der Würfel der Entfernung. Verhältnis Satellit-Primär: Primär-Sonne (siehe detaillierte Berechnung unten).$m^2$

Am Beispiel des entferntesten der Hauptmonde des Uranus, Oberon, mit 583500 km:

Der Skalierungsfaktor für die solaren Störbeschleunigungen auf Oberon in seiner Umlaufbahn relativ zu Uranus beträgt nur etwa 1 / 5.000.000 der von Oberon empfundenen Gravitationsbeschleunigung in Richtung Uranus (Berechnung unten).

Vergleicht man den entsprechenden Skalierungsfaktor für den Erdmond und seine Sonnenstörungen, so ist der Faktor bekanntlich sehr viel größer und liegt nahe bei 1/178. Der Mond hat eine relativ stark sonnengestörte Umlaufbahn relativ zur Erde, aber die Sonnenstörungen auf Oberon sind mehr als vier Größenordnungen kleiner, wirklich sehr klein.

Es ist möglich, dass die beiden winzigen äußersten Satelliten XVI und XVII von Uranus Störungen erfahren, die groß genug sind, um das Wachstum ihrer Exzentrizitäten voranzutreiben. Ihre Exzentrizitäten bei 0,18 und 0,52 sind im Vergleich zu den Hauptsatelliten sehr groß, alle mit einer Exzentrizität <0,004 (Quelle, Astronomischer Almanach 2016).

Detail der ungefähren Berechnung:

Die "abgetastete" Sonnenstörungsbeschleunigung auf einem Satelliten wird für die vorliegenden Zwecke als die Störbeschleunigung auf dem Satelliten dargestellt, wenn sie nahe an der Quadratur mit der Sonne liegt (vom Planeten aus gesehen). In dieser Konfiguration ist die Sonnenstörung auf dem Satelliten auf den Planeten gerichtet, was hier zu der gewöhnlichen inversen quadratischen Anziehungskraft des Satelliten auf den Planeten beiträgt.

Mit Massenkonstanten der Sonne S und des Planeten P; planetare Halbachse a; und Planet-Satellit-Trennung d plus eine Annahme, dass die Masse des Satelliten im Vergleich zu den beiden anderen sehr klein ist:

1 ** Die beschleunigte Anziehungskraft des Planeten auf den Satelliten beträgt ;$P/d^2$

2 ** Die beschleunigte Anziehungskraft der Sonne auf den Planeten beträgt ;$S/a^2$

3 ** und damit auch (in ziemlich enger Näherung) die Amplitude der Beschleunigungsanziehung der Sonne auf dem Satelliten .$S/a^2$

4 ** Wenn sich der Satellit in Quadratur befindet, wird der aufgelöste Teil der Vektoranziehung der Sonne auf ihm, der sich nicht mit der Anziehung der Sonne auf dem Planeten aufhebt, dh die Nettostörung auf dem Satelliten an diesem Punkt, nahezu durch die Proportionen angegeben des Dreiecks Satelliten-Planet-Sonne: Die Länge von zwei Seiten beträgt ungefähr a und das dritte d. In dieser Konfiguration ist der aufgelöste Teil der Beschleunigung # 3 in Richtung des Planeten in enger Näherung also -

$(S/a^2) . (d/a)$.

Das Verhältnis der störenden Beschleunigung 4 zur gewöhnlichen Planetenanziehung 1 ist somit

$(S/P) . (d/a)^3$.

Für die Sonne und Uranus gilt S / P ~ = 22902,

für Sonne und Erde + Mond S / P ~ = 328901.

Uranus ist ungefähr 19 Au von der Sonne bis zur Erde 1, das Au ist 149597871 km, die mittlere planetozentrische Entfernung von Oberon beträgt 583500 km und vom Mond 385000 km.

Mit diesen Zahlen das Verhältnis

"Sonnenstörung auf dem Satelliten: Planetenanziehung auf dem Satelliten"

beträgt ~ 1/178 für Erde und Mond und ~ 1 / 5.000.000 für Uranus und Oberon.

Die winzigen äußeren Satelliten von Uranus sind weiter davon entfernt als Oberon, in einem Verhältnis von etwa 20,8 für die äußeren (XVII). Somit sind die Störungen auf ihm als Anteil der gewöhnlichen Anziehungskraft von Uranus in seiner Entfernung$(20.8)^3$ Mal größer als für Oberon, wodurch der relevante Störungsskalierungsfaktor so groß wie etwa 1/550 ist, immer noch kleiner als für unseren Mond, aber vielleicht genug, um die störenden Effekte in seiner höheren Exzentrizität von etwa 0,52 widerzuspiegeln.

{Update:} Es stellt sich heraus, dass die Umlaufbahnen der äußeren Uranmonde tatsächlich untersucht wurden: Brozovic, M.; Jacobson, RA (2009), "Die Umlaufbahnen der äußeren uranischen Satelliten", The Astronomical Journal, 137 (4): 3834-42 . Es wurde festgestellt, dass nur einer der (hochexzentrischen) äußeren Satelliten durch eine Kozai-Resonanz gestört ist und sich möglicherweise in einer instabilen Umlaufbahn befindet. Es scheint, dass die Bedingungen für den Effekt für die anderen nicht erfüllt sind.