Bestimmung der Auswirkung einer kleinen variablen Kraft auf die Präzession des Planetenperihels

Gibt es eine analytische Technik zur Bestimmung der Auswirkung einer kleinen variablen Querbeschleunigung auf die Geschwindigkeit der Aspidenpräzession (streng genommen keine Präzession, sondern Rotation der Aspidenlinie) eines Planeten, der in einer 2D-Ebene um die Sonne kreist, gemäß dem Newtonschen Gravitationsgesetz? ?

Ich habe solche Effekte in einem wiederholten Computermodell modelliert und möchte diese Messungen verifizieren.

Die Querbeschleunigungsformel lautet

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Wo:-

c ist Lichtgeschwindigkeit,

K ist eine Konstante der Größenordnung zwischen 0 und +/- 3, so dass $K/(c^2) << 1$ .

Ar ist die Beschleunigung des Planeten in Richtung der Sonne aufgrund Newtonsche Gravitationseinfluss der Sonne, ( $Ar = GM/r^2$ ).

Vr ist die radiale Komponente der Planetengeschwindigkeit relativ zur Sonne (+ = Bewegung von der Sonne weg)

Vt ist die Querkomponente der Planetengeschwindigkeit relativ zur Sonne (+ = Richtung der Planetenvorwärtsbewegung entlang ihrer Umlaufbahn). Vektoriell Vt = V - Vr wobei V der gesamte momentane Geschwindigkeitsvektor des Planeten relativ zur Sonne ist.

Angenommen, die Planetenmasse ist im Verhältnis zur Sonne klein

Keine anderen Stellen sind im System

Alle Bewegungen und Beschleunigungen sind auf die zweidimensionale Ebene der Umlaufbahn beschränkt.

AKTUALISIEREN

Der Grund, warum dies für mich interessant ist, ist, dass ein Wert von K = +3 in meinem Computermodell anomale (nicht-Newtonsche) Periaps-Rotationsratenwerte erzeugt, die sehr nahe bei etwa 1% der von der Allgemeinen Relativitätstheorie und bei einigen Prozent von liegen die von Astronomen beobachteten (Le Verrier, aktualisiert von Newcomb).

Formel (Einstein, 1915) für GR-abgeleitete Periapsendrehung (Bogenmaß pro Umlaufbahn) aus http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

UPDATE 4

Ich habe Walters Antwort akzeptiert. Er beantwortete nicht nur die ursprüngliche Frage (Gibt es eine Technik ...?), Sondern auch seine Analyse ergab eine Formel, die nicht nur die rechnersimulierten Effekte der Querbeschleunigungsformel (für K = 3) bestätigt, sondern auch (unerwartet) entspricht im wesentlichen der Einstein-Formel von 1915.

aus Walters Zusammenfassung (in Walters Antwort unten):

: (aus der Peturbationsanalyse erster Ordnung) Die Haupthalbachse und die Exzentrizität sind unverändert, aber die Richtung des Periaps dreht sich in der Ebene der Umlaufbahn mit der Geschwindigkeit wobeidie Orbitalfrequenz undmitder großen Halbachse. Beachten Sie, dass dies (für) mit der allgemeinen Relativitätsrate (GR) bei Ordnung übereinstimmt

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

(gegeben von Einstein 1915).

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit steveOw
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Suchen Sie noch eine Antwort?

Walter

@Walter. Ja bin ich. Ich habe unter physics.stackexchange.com/questions/123685/… eine ähnliche Frage gestellt, aber noch keine fundierte Antwort erhalten.

SteveOw

@Walter. Ich fragte auch bei math.stackexchange.com/questions/866836/… .

SteveOw

Ja, es gibt ungefähre analytische Methoden (Störungstheorie), die im Bereich von

gültig sind . Vielleicht können Sie Ihre Frage ein wenig klären. Was ist die Richtung der Querbeschleunigung (ich verstehe "quer", um senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit zu bedeuten, aber es ist nicht klar, ob die Beschleunigung in der Ebene der Umlaufbahn oder senkrecht oder ein Gemisch ist).

K ≪ 1

$K\ll1$

Walter

Es gibt einen Unterschied zwischen Ihrer Frage hier und der in Mathematik (und Physik): Hier ist die Querbeschleunigung proportional zur Radialbeschleunigung und

ist eine dimensionslose Zahl, da hat die Radialbeschleunigung keinen Einfluss auf die Querbeschleunigung und

muss eine sein Beschleunigung (obwohl Sie über eine "Zahl" sprechen).

K

$K$

K

$K$

Walter

Möglicherweise möchten Sie die Störungstheorie verwenden . Dies gibt Ihnen nur eine ungefähre Antwort, ermöglicht jedoch eine analytische Behandlung. Ihre Kraft wird als kleine Störung der Kepler'schen Ellipsenbahn angesehen, und die resultierenden Bewegungsgleichungen werden in Potenzen von . Für die lineare Störungstheorie werden nur Terme beibehalten, die in linear sind. Dies führt einfach dazu, dass die Störung entlang der ungestörten ursprünglichen Umlaufbahn integriert wird. Wenn Sie Ihre Kraft als Vektor schreiben, ist die störende Beschleunigung $K$ $K$ mit die Radialgeschwindigkeit ( ) und

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

die Rotationskomponente der Geschwindigkeit (die volle Geschwindigkeit minus der Radialgeschwindigkeit). Hier bezeichnet der obige Punkt eine Zeitableitung und hat den Einheitsvektor.

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$

Jetzt kommt es darauf an, was Sie mit " Wirkung " meinen . Lassen Sie uns die Änderungen der orbitalen Halbwertsachse , der Exzentrizität und der Richtung des Periaps herausarbeiten. $a$ $e$

Um die folgenden Ergebnisse zusammenzufassen : Die Hauptachse und die Exzentrizität sind unverändert, aber die Richtung des Periaps dreht sich in der Ebene der Umlaufbahn mit der Geschwindigkeit wobeidie Orbitalfrequenz undmitder großen Halbachse. Man beachte, dass dies (für)mit der allgemeinen Relativitätsrate (GR)bei Ordnung übereinstimmt

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

(gegeben von Einstein 1915, aber in der ursprünglichen Frage nicht erwähnt).

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

Änderung der Hauptachse

Aus der Beziehung (mit $a=-GM/2E$ die Orbitalenergie), die wir für die Änderung vonaufgrund einer externen (nicht keplerianischen) Beschleunigung $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$ Wenn maneinfügt(man beachte, dassmit dem Drehimpulsvektor), erhält man

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

Da die Umlaufbahn durchschnittlich

für jede Funktion

(siehe unten),

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

Änderung der Exzentrizität

Aus ergibt sich $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$ Wir wissen bereitsdass, so dass nur das erste Glied berücksichtigen müssen. Somit ist

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

wo ich die Identität

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

und die Tatsache

. Wieder

und damit

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

Änderung der Richtung des Periaps

Die Exzentrizitäts - Vektor Punkte (von der Mitte der Schwerkraft) in Richtung periapse hat Größenordnung , und wird unter der Keplerian Bewegung konservierte (alle validieren , dass als eine Übung!). Aus dieser Definition wir seine sofortige Änderung aufgrund externer Beschleunigung finden $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$ wo ich die Identität und die Tatsache. Die Umlaufdurchschnitte dieser Ausdrücke sind im Anhang unten aufgeführt. Wenn wir schließlich alles zusammensetzen, erhalten wir mit [wieder korrigiert]

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

Dies ist eine Umdrehung des Periaps in der Ebene der Umlaufbahn mit der Winkelfrequenz

. Insbesondere

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

in Übereinstimmung mit unseren früheren Befund.

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$

Vergessen Sie nicht, dass aufgrund unserer Verwendung der Störungstheorie erster Ordnung diese Ergebnisse nur im Grenzbereich genau zutreffen . Bei der Störungstheorie zweiter Ordnung können sich jedoch sowohl als auch / oder ändern. In Ihren numerischen Experimenten sollten Sie feststellen, dass sich die im Orbit gemittelten Änderungen von und ändern $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ entweder Null sind oder mit der Störamplitude stärker als linear skalieren . $K$

Haftungsausschluss Keine Garantie für die Richtigkeit der Algebra. Prüfen Sie!

Anhang: Umlaufmittelwerte

$v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$ der Umlaufzeit.

$\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$ in particular, the components in direction

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$ average to zero. Thus [corrected again]

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

Walter
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