Bestimmung der Auswirkung einer kleinen variablen Kraft auf die Präzession des Planetenperihels

14

Gibt es eine analytische Technik zur Bestimmung der Auswirkung einer kleinen variablen Querbeschleunigung auf die Geschwindigkeit der Aspidenpräzession (streng genommen keine Präzession, sondern Rotation der Aspidenlinie) eines Planeten, der in einer 2D-Ebene um die Sonne kreist, gemäß dem Newtonschen Gravitationsgesetz? ?

Ich habe solche Effekte in einem wiederholten Computermodell modelliert und möchte diese Messungen verifizieren.

Die Querbeschleunigungsformel lautet

At=(K/c2)VrVtAr.

Wo:-

c ist Lichtgeschwindigkeit,

K ist eine Konstante der Größenordnung zwischen 0 und +/- 3, so dass K/(c2)<<1 .

Ar ist die Beschleunigung des Planeten in Richtung der Sonne aufgrund Newtonsche Gravitationseinfluss der Sonne, ( Ar=GM/r2 ).

Vr ist die radiale Komponente der Planetengeschwindigkeit relativ zur Sonne (+ = Bewegung von der Sonne weg)

Vt ist die Querkomponente der Planetengeschwindigkeit relativ zur Sonne (+ = Richtung der Planetenvorwärtsbewegung entlang ihrer Umlaufbahn). Vektoriell Vt = V - Vr wobei V der gesamte momentane Geschwindigkeitsvektor des Planeten relativ zur Sonne ist.

Angenommen, die Planetenmasse ist im Verhältnis zur Sonne klein

Keine anderen Stellen sind im System

Alle Bewegungen und Beschleunigungen sind auf die zweidimensionale Ebene der Umlaufbahn beschränkt.

AKTUALISIEREN

Der Grund, warum dies für mich interessant ist, ist, dass ein Wert von K = +3 in meinem Computermodell anomale (nicht-Newtonsche) Periaps-Rotationsratenwerte erzeugt, die sehr nahe bei etwa 1% der von der Allgemeinen Relativitätstheorie und bei einigen Prozent von liegen die von Astronomen beobachteten (Le Verrier, aktualisiert von Newcomb).

Formel (Einstein, 1915) für GR-abgeleitete Periapsendrehung (Bogenmaß pro Umlaufbahn) aus http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω=24.π3.a2.T2.c2.(1e2)1

UPDATE 4

Ich habe Walters Antwort akzeptiert. Er beantwortete nicht nur die ursprüngliche Frage (Gibt es eine Technik ...?), Sondern auch seine Analyse ergab eine Formel, die nicht nur die rechnersimulierten Effekte der Querbeschleunigungsformel (für K = 3) bestätigt, sondern auch (unerwartet) entspricht im wesentlichen der Einstein-Formel von 1915.

aus Walters Zusammenfassung (in Walters Antwort unten):

: (aus der Peturbationsanalyse erster Ordnung) Die Haupthalbachse und die Exzentrizität sind unverändert, aber die Richtung des Periaps dreht sich in der Ebene der Umlaufbahn mit der Geschwindigkeit wobeiΩdie Orbitalfrequenz undvc=Ωamiteinemder großen Halbachse. Beachten Sie, dass dies (fürK=3) mit der allgemeinen Relativitätsrate (GR) bei Ordnungv 2 übereinstimmt

ω=Ωvc2c2K1e2,
Ωvc=ΩaaK=3(gegeben von Einstein 1915).vc2/c2
steveOw
quelle
Suchen Sie noch eine Antwort?
Walter
@Walter. Ja bin ich. Ich habe unter physics.stackexchange.com/questions/123685/… eine ähnliche Frage gestellt, aber noch keine fundierte Antwort erhalten.
SteveOw
@Walter. Ich fragte auch bei math.stackexchange.com/questions/866836/… .
SteveOw
Ja, es gibt ungefähre analytische Methoden (Störungstheorie), die im Bereich von gültig sind . Vielleicht können Sie Ihre Frage ein wenig klären. Was ist die Richtung der Querbeschleunigung (ich verstehe "quer", um senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit zu bedeuten, aber es ist nicht klar, ob die Beschleunigung in der Ebene der Umlaufbahn oder senkrecht oder ein Gemisch ist). K1
Walter
Es gibt einen Unterschied zwischen Ihrer Frage hier und der in Mathematik (und Physik): Hier ist die Querbeschleunigung proportional zur Radialbeschleunigung und ist eine dimensionslose Zahl, da hat die Radialbeschleunigung keinen Einfluss auf die Querbeschleunigung und K muss eine sein Beschleunigung (obwohl Sie über eine "Zahl" sprechen). KK
Walter

Antworten:

5

Möglicherweise möchten Sie die Störungstheorie verwenden . Dies gibt Ihnen nur eine ungefähre Antwort, ermöglicht jedoch eine analytische Behandlung. Ihre Kraft wird als kleine Störung der Kepler'schen Ellipsenbahn angesehen, und die resultierenden Bewegungsgleichungen werden in Potenzen von . Für die lineare Störungstheorie werden nur Terme beibehalten, die in K linear sind. Dies führt einfach dazu, dass die Störung entlang der ungestörten ursprünglichen Umlaufbahn integriert wird. Wenn Sie Ihre Kraft als Vektor schreiben, ist die störende Beschleunigung aKK mitvr=v r die Radialgeschwindigkeit (v ˙ r ) und vt=(v - r (v

a=KGMr2c2vrvt
vr=vr^vr˙die Rotationskomponente der Geschwindigkeit (die volle Geschwindigkeit minus der Radialgeschwindigkeit). Hier bezeichnet der obige Punkt eine Zeitableitung und hat den Einheitsvektor.vt=(vr^(vr^))

Jetzt kommt es darauf an, was Sie mit " Wirkung " meinen . Lassen Sie uns die Änderungen der orbitalen Halbwertsachse , der Exzentrizität e und der Richtung des Periaps herausarbeiten.ae


Um die folgenden Ergebnisse zusammenzufassen : Die Hauptachse und die Exzentrizität sind unverändert, aber die Richtung des Periaps dreht sich in der Ebene der Umlaufbahn mit der Geschwindigkeit wobeiΩdie Orbitalfrequenz undvc=Ωamiteinemder großen Halbachse. Man beachte, dass dies (fürK=3)mit der allgemeinen Relativitätsrate (GR)bei Ordnungv 2 c übereinstimmt

ω=Ωvc2c2K1e2,
Ωvc=ΩaaK=3(gegeben von Einstein 1915, aber in der ursprünglichen Frage nicht erwähnt).vc2/c2

Änderung der Hauptachse

Aus der Beziehung (mita=GM/2Edie Orbitalenergie), die wir für die Änderung vonaaufgrund einer externen (nicht keplerianischen) Beschleunigung have a = habenE=12v2GMr1a Wenn manaeinfügt(man beachte, dassvvt=h2/r2mit dem Drehimpulsvektorhrv), erhält man ˙ a =2a2

a˙=2a2GMva.
avvt=h2/r2hrv Da die Umlaufbahn durchschnittlichvrf(r)=0für jede FunktionF(siehe unten), ˙ a
a˙=2a2Kh2c2vrr4.
vrf(r)=0f .a˙=0

Änderung der Exzentrizität

Aus ergibt sich e ˙ e = - h ˙h2=(1e2)GMa Wir wissen bereitsdass ˙ a=0, so dass nur das erste Glied berücksichtigen müssen. Somit ist e ˙ e =-(rv)(ra)

ee˙=hh˙GMa+h2a˙2GMa2.
a˙=0 wo ich die Identität (ab)(cd)=ac verwendet habe
ee˙=(rv)(ra)GMa=r2vaGMa=Kh2ac2vrr2,
und die Tatsache r a p = 0 . Wiederv r / r 2= 0 und damit˙ e(ab)(cd)=acbdadbcrap=0vr/r2=0 .e˙=0

Änderung der Richtung des Periaps

Die Exzentrizitäts - Vektor Punkte (von der Mitte der Schwerkraft) in Richtung periapse hat Größenordnung e , und wird unter der Keplerian Bewegung konservierte (alle validieren , dass als eine Übung!). Aus dieser Definition wir seine sofortige Änderung aufgrund externer Beschleunigung finden ˙ e = eine ( r v ) + v ( r a )evh/GMr^e wo ich die Identität a(bc)=(ac)b-(ab)c und die Tatsachera=0 verwendet habe. Die Umlaufdurchschnitte dieser Ausdrücke sind im Anhang unten aufgeführt. Wenn wir schließlich alles zusammensetzen, erhalten wir ˙ e =ωe mit [wieder korrigiert] ω=ΩKv 2

e˙=a(rv)+v(ra)GM=2(va)r(rv)aGM=2Kc2h2vrrr4Kc2vr2vtr
a(bc)=(ac)b(ab)cra=0e˙=ωe Dies ist eine Umdrehung des Periaps in der Ebene der Umlaufbahn mit der Winkelfrequenzω=| ω| . Insbesonderee ˙ e=e ˙ e
ω=ΩKvc2c2(1e2)1h^.
ω=|ω| in Übereinstimmung mit unseren früheren Befund.ee˙=ee˙=0

Vergessen Sie nicht, dass aufgrund unserer Verwendung der Störungstheorie erster Ordnung diese Ergebnisse nur im Grenzbereich genau zutreffen . Bei der Störungstheorie zweiter Ordnung können sich jedoch sowohl a als auch / oder e ändern. In Ihren numerischen Experimenten sollten Sie feststellen, dass sich die im Orbit gemittelten Änderungen von a und e ändernK(vc/c)20aeae entweder Null sind oder mit der Störamplitude stärker als linear skalieren .K

Haftungsausschluss Keine Garantie für die Richtigkeit der Algebra. Prüfen Sie!


Anhang: Umlaufmittelwerte

vrf(r)f(r)F(r)f(r)F=f

vrf(r)=1T0Tvr(t)f(r(t))dt=1T[F(r(t))]0T=0
T der Umlaufzeit.

e˙

r=a((cosηe)e^+1e2sinηk^)andr=a(1ecosη)
ek^h^e^ehη=ηesinη,d=(1ecosη)dη
=(2π)102πd=(2π)102π(1ecosη)dη.
˙=Ω=GM/a3r
v=vc1e2cosηk^sinηe^1ecosη
vcΩa=GM/aavr=r^v=vcesinη(1ecosη)1
vt=vc1e2(cosηe)k^(1e2)sinηe^(1ecosη)2.

h2vrrr4=Ωvc2k^e(1e2)3/22π02πsin2η(1ecosη)4dη=Ωvc2e2(1e2)k^vr2vtr=Ωvc2k^e2(1e2)1/22π02πsin2η(cosηe)(1ecosη)4dη=0,
in particular, the components in direction e^ average to zero. Thus [corrected again]
2h2vrrr4vr2vtr=Ωvc2ek^(1e2)
Walter
quelle
Comments are not for extended discussion; this conversation has been moved to chat.
called2voyage