Was ist das richtige Verhältnis von Newtonschen zu allgemeinen relativistischen Gravitationseffekten für das Orbital-System Sonne + Einzelplanet?

Für ein hypothetisches Orbitalsystem (Sonne + einzelner Planet) erzeugen das Newtonsche Modell und das Allgemeine Relativitätsmodell (GR) unterschiedliche Ausdrücke für den Gravitationseffekt der Sonne auf den Planeten. Das ist bekannt.

Das Verhältnis zwischen den Newtonschen und GR-Effekten wird von verschiedenen Autoren auf unterschiedliche Weise ausgedrückt.

Ich habe Probleme, zwei solche Ausdrücke des Newtonschen: GR-Verhältnisses miteinander in Einklang zu bringen.

Zunächst präsentiert Walter (2008) (Gleichung 12.7.6, Seite 482) den folgenden Ausdruck für die aus dem GR-Modell erzeugte Bewegungsgleichung

\frac{d^{2} u}{d θ^{2}} + u = \frac{G M}{h^{2}} + \frac{3 G M}{c^{2}} u^{2}

$\frac{d^2\,u}{d\theta^2} + u = \frac{GM}{h^2} + \frac{3GM}{c^2}u^2$ wobei , , ist die universelle Gravitationskonstante, ist die Masse der Sonne, ist die Lichtgeschwindigkeit. Hier ist der Term der gewöhnliche Newtonsche Term und der Term ist der von GR eingeführte zusätzliche Term.

u = (1 / r)

$u= (1/r)$

h = v r

$h=vr$

G

$G$

M

$M$

c

$c$

G M / h^{2}

$GM/h^2$

3 G M u^{2} / c^{2}

$3GMu^2/c^2$

Daraus leitet Walter das ungefähre Verhältnis zwischen Newtonschen und GR-Effekten als zu wobei die Umlaufgeschwindigkeit des Planeten in einer Kreisbahn ist ( mit Abstand = die Semi-Major-Achse). $(1)$ $(1 + 3v^2/c^2)$ $v = \sqrt{GM/r}$ $r$ $a$

Zweitens wird eine alternative Präsentation (unter Bezugnahme auf die sogenannte Schwartzchild-Lösung) von Goldstein in Classical Mechanics (3rd Edition), Seiten 536-538, gegeben. Das GR-Potential ist gegeben durch wobei die Zielkörpermasse und eine Konstante ist (Goldstein verwendet anstelle von , siehe unten, aber ich habe bereits verwendet , um in Walter oben etwas anderes zu bedeuten,) $V_{GR}$

V = - \frac{G M m}{r} - \frac{b}{r^{3}}

$V = -\frac{GMm}{r} -\frac{b}{r^3}$

m

$m$

b

$b$

h

$h$

b

$b$

h

$h$

wir das Potential in Bezug auf den Abstand differenzieren , um Kraft zu geben, leiten wir $r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 b}{r^{4}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3b}{r^4}$

Nun definiert Goldstein die Konstante : - wobei und $b$

b = \frac{k l^{2}}{m^{2} c^{2}} Goldstein eqtn [12.48]

$b = \frac{k\,l^2}{m^2c^2} \qquad\text{ Goldstein eqtn [12.48]}$

k = G M m

$k=GMm$

l^{2} = m k a (1 - e^{2}) Goldstein eqtn[12.50]

$l^2 = mka(1-e^2) \qquad\text{ Goldstein eqtn[12.50]}$

Damit

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m L^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, L^2}{c^2} = \frac{GMm \,m^2 v_c^2 a^2}{c^2}$

So ist die GR Kraftgleichung wird Substituieren von erhalten wir

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2 a^2}{r^4c^2}$

a

$a$

r

$r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m m^{2} v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M m}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{c}^{2} m^{2}}{c^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm m^2 v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2 \, m^2}{c^2} \right)$

Das von Goldstein abgeleitete Newtonsche: GR-Verhältnis ist also dasselbe wie das von Walter abgeleitete Verhältnis, außer dass das erstere den zusätzlichen Term von im Zähler hat. Selbst wenn wir versuchen würden, dies durch Aufrufen eines Einheitsmassenziels numerisch zu verfälschen, wäre es dennoch dimensional falsch. $m^2$

Was ist das richtige Verhältnis?

UPDATE --------------------------------------------- --------------------

Beim Refactoring von ich den Drehimpuls wenn ich den spezifischen Drehimpuls . Nach der Korrektur verschwindet das zusätzliche . Goldstein stimmt Walter zu. Mein Dank geht an Stan Liou für die Beleuchtung. $b$ $L$ $\mathfrak{l}$ $m^2$

Korrigierte Analyse: -

b = \frac{G M m m G M m a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} = \frac{G M m l^{2}}{c^{2}} = \frac{G M m v_{c}^{2} a^{2}}{c^{2}}

$b = \frac{GMm\, m\, GMm\, a(1-e^2)}{m^2c^2} = \frac{GMm \, \mathfrak{l}^2}{c^2} = \frac{GMm \,v_c^2 a^2}{c^2}$

So ist die GR Kraftgleichung wird Substituieren von erhalten wir

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m v_{c}^{2} a^{2}}{r^{4} c^{2}}

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2 a^2}{r^4c^2}$

a

$a$

r

$r$

F_{G R} = \frac{G M m}{r^{2}} + \frac{3 G M m v_{c}^{2}}{r^{2} c^{2}} = \frac{G M m}{r^{2}} (1 + \frac{3 v_{c}^{2}}{c^{2}})

$F_{GR} = \frac{GMm}{r^2} + \frac{3GMm v_c^2}{r^2c^2} = \frac{GMm}{r^2} \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

Das richtige Verhältnis von Newtonscher zu GR-Gravitationskraft ist also: -

F_{N e w t o n i a n} : F_{G R} \approx 1 : (1 + \frac{3 v_{c}^{2}}{c^{2}})

$F_{Newtonian}:F_{GR} \approx 1: \left( 1 + \frac{3 v_c^2}{c^2} \right)$

ANMERKUNGEN

Dieses Verhältnis ist ungefähr und gilt nur in der Unterdomäne "Niedriggeschwindigkeit, schwaches Feld" des GR-Modells.

Goldstein betont auch, dass der GR-Effekt kein Geschwindigkeitseffekt ist (vermutlich wie bei der Geschwindigkeit des Zielkörpers durch irgendeine Art von Äther oder Fluss).

Zufällig (in derselben Unterdomäne, z. B. Quecksilber, das die Sonne umkreist), eine modifizierte Newtonsche Radialkraft der Größe , wobei die momentane Quergeschwindigkeit von a ist kleiner Zielplanet, erzeugt eine nicht-Newtonsche Apsidenrotation ("Perihelpräzession") in der gleichen Größenordnung (innerhalb von 1%) wie GR. $f=GMm/r^2 * [1 + 3v_t^2/c^2]$ $v_t$

Goldstein muss sorgfältig gelesen werden. Hier verwendet er zu bezeichnen Drehimpuls an anderer Stelle (zB eqtn [1.7]) verwendet er . Er bezeichnet oft als "Potential", wenn er sich eindeutig auf "potentielle Energie" bezieht (z. B. Gleichung [3.49]). $l$ $L$ $V$

orbit general-relativity steveOw
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Es gibt kein bestimmtes "Verhältnis". Wenn das alles wäre, was die allgemeine Relativitätstheorie betrifft, wäre GR einfach. GR ist nicht "einfach". Die in dieser Frage veröffentlichte Beziehung ist vielleicht die einfachste von einfachen Linearisierungen der allgemeinen Relativitätstheorie.

David Hammen

David hat natürlich insofern Recht, als diese Art des Vergleichs nur für langsame Umlaufbahnen in einer Schwachfeldnäherung Sinn macht, obwohl dies glücklicherweise auch der Kontext dieser Frage ist. Es kann angemerkt werden, dass für den speziellen Fall der Schwarzschild-Raumzeit die Umlaufbahnen genau durch das effektive Potential beschrieben werden; Die Annäherung kommt zustande, wenn man die Radialkoordinate und die richtige Zeit so behandelt, als wären sie Newton, was in allgemeineren Situationen ungültig ist.

Stan Liou

David & Stan: Danke. Ja, ich war mir dessen bewusst, habe aber am Ende der Frage eine Klarstellung hinzugefügt.

SteveOw

Antworten:

Umlaufbahnen in der Schwarzschild-Raumzeit können durch das effektive Potential wobei der spezifische Drehimpuls der Umlaufbahn ist, der eine konservierte Größe ist. Die ersten beiden Terme stimmen mit der Form des Newtonschen effektiven Potentials überein, außer dass wir uns hier auf die Schwarzschild-Radialkoordinate und die richtige Zeit des umlaufenden Teilchens beziehen , anstatt auf den radialen Abstand und die Koordinatenzeit. Der erste Term ist das übliche Gravitationspotential und der zweite das Zentrifugalpotential, daher ist Goldsteins als Energieterm für das Gravitationspotential sinnvoll.

V_{eff} = - \frac{G M}{r} + \frac{l^{2}}{2 r^{2}} - \frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{3}},

$V_\text{eff} = -\frac{GM}{r} + \frac{\mathfrak{l}^2}{2r^2} - \frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}\text{,}$

l = r^{2} \dot{ϕ}

$\mathfrak{l} = r^2\dot{\phi}$

r

$r$

V

$V$

Daher bedeutet mit , dass der Drehimpuls ist, und genau wie Goldstein sagt. Wenn wir in Bezug auf die richtige Zeit unterscheiden, dann $l^2 = mka(1-e^2)$ $k = GMm$ $l$ $l = m\mathfrak{l}$

\frac{G M l^{2}}{c^{2} r^{3}} m = G M m \frac{l^{2}}{m^{2}} \frac{1}{c^{2} r^{3}} = \underset{b}{\underset{⏟}{\frac{k l^{2}}{m^{2} c^{3}}}} \frac{1}{r^{3}},

$\frac{GM\mathfrak{l}^2}{c^2r^3}m = GMm\frac{l^2}{m^2}\frac{1}{c^2r^3} = \underbrace{\frac{kl^2}{m^2c^3}}_b\frac{1}{r^3}\text{,}$

\frac{1}{2} m {\dot{r}}^{2} + m V_{eff} = E

$\frac{1}{2}m\dot{r}^2 + mV_\text{eff} = \mathcal{E}$

\begin{array}{rcl} m \ddot{r} - \frac{l^{2}}{m r^{3}} & = & - \frac{k}{r^{2}} - \frac{3 b}{r^{4}} \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{l^{2}}{m^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{m (G M m) a (1 - e^{2})}{m^{2} c^{2}} \frac{1}{r^{2}}) \\ = & - \frac{k}{r^{2}} (1 + 3 \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{a (1 - e^{2})}{r}) . \end{array}

$\begin{eqnarray*}m\ddot{r} - \frac{l^2}{mr^3} &=& -\frac{k}{r^2} - \frac{3b}{r^4}\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{l^2}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{m(GMm)a(1-e^2)}{m^2c^2}\frac{1}{r^2}\right)\\ &=& -\frac{k}{r^2}\left(1 + 3\frac{v_c^2}{c^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\right)\text{.} \end{eqnarray*}$ Dies ist dimensionsmäßig korrekt, da sowohl als auch dimensionslos sind, während Die linke Seite hat die Newtonsche Form.

v_{c} / c

$v_c/c$

a / r

$a/r$

\frac{l^{2}}{m r^{3}} = \frac{k}{r^{2}} \frac{a (1 - e^{2})}{r} .

$\frac{l^2}{mr^3} = \frac{k}{r^2}\frac{a(1-e^2)}{r}\text{.}$

Stan Liou
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ℓ

$\ell$ hat die Dimension aufgrund der Einbeziehung von in Gleichung 12.50. Vielleicht Eqtn.12.48 für sollte in Nenner statt ?

M D^{2} / T

$MD^2/T$

k = G M m

$k=GMm$

b

$b$

m^{4}

$m^4$

m^{2}

$m^2$

SteveOw

Aha! Ich sehe, der Fehler liegt bei mir. Ich habe den Drehimpuls mit dem spezifischen Drehimpuls (keine Masse) verwechselt. Goldstein stimmt Walter zu. Sein ist OK, da das zweite aus dem Term .

ℓ^{2}

$\ell^2$

m

$m$

k = G M m

$k=GMm$

SteveOw

@steveOw Ja, ich habe falsch verstanden, wie die Variablen auch definiert wurden. Eh!

Stan Liou

Ich denke, Ihre vorletzte Gleichung sollte (a ^ 2 / r ^ 2) anstelle von (a / r) haben, vorausgesetzt, die vorherige Gleichung ist korrekt. In jedem Fall widerlegt jede Anwesenheit von r in diesem Begriff meine These ... die ich jetzt neu bewerte ... Ich kann eine separate Frage stellen, um meine Gedanken zu klären.

SteveOw

@steveOw Da wie am Anfang des zweiten Absatzes eingeführt (vgl. auch hier, aber mit ), ist korrekt. Sie können jedoch gerne weitere Fragen stellen.

l^{2} / m^{2} = G M a (1 - e^{2})

$l^2/m^2 = GMa(1-e^2)$

m ≪ M

$m\ll M$

a / r

$a/r$

Stan Liou

Der Ausdruck, der von der NASA / JPL verwendet wird, um die relativistischen Auswirkungen auf die Umlaufbahn eines einzelnen Planeten plus der Sonne in unserem Sonnensystem zu approximieren, wird als " post-Newtonsche Expansion " bezeichnet und sieht folgendermaßen aus:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} (1 - \frac{4 G M}{r c^{2}} + \frac{v^{2}}{c^{2}}) \hat{r} + \frac{4 G M}{r^{2}} (\hat{r} \cdot \hat{v}) \frac{v^{2}}{c^{2}} \hat{v}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\left(1-\frac{4GM}{rc^2}+\frac{v^2}{c^2}\right)\hat{r} +\frac{4GM}{r^2}\left(\hat{r}\cdot \hat{v}\right)\frac{v^2}{c^2}\hat{v}$

Wenn es viele Planeten gibt, wird der Ausdruck komplexer. Sie können dies mit der klassischen Newtonschen Beschleunigung vergleichen:

\frac{d \bar{v}}{d t} = - \frac{G M}{r^{2}} \hat{r}

$\frac{d\bar{v}}{dt}=-\frac{GM}{r^2}\hat{r}$

Ich bin kein großer Fan dieser Annäherung, aber es ist das, was meistens verwendet wird.

Für eine reine Kreisbahn in Schwarzschild-Koordinaten erhalten Sie in GR (in Koordinatenzeit) die gleiche Bahngeschwindigkeit wie klassisch.

Wenn Sie ein Objekt aus dem Ruhezustand fallen lassen, entspricht die anfängliche Beschleunigung in GR (in Koordinatenzeit) der klassischen.

Wenn Sie wissen möchten, ob GR oder klassische Newtonsche Gravitation zu mehr Beschleunigung führen, müssen Sie sich im Allgemeinen entscheiden, ob Sie an dem Ergebnis in "Koordinatenzeit" oder "richtiger Zeit" interessiert sind, und der Anteil variiert auch in Abhängigkeit von der Richtung Der Planet bewegt sich im Vergleich zur Sonne.

Agerhell
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