Änderungen in der Erdumlaufbahn

Schwerkrafthilfen wie diese sind eine Form der elastischen Kollision. Hier knirscht eine kleine Zahl (hoffentlich keine Fehler!), Daher sollten Sie mit den Grundlagen von Impuls, kinetischer Energie und deren Erhaltung vertraut sein.

Frage: Wenn Ceres (der größte bekannte Asteroid mit einem Durchmesser von fast 500 km) die Erde zur Durchführung einer Schwerkraftunterstützung zur Erhöhung seiner eigenen Geschwindigkeit verwendet, um wie viel würde dies die Erde verlangsamen und wie viel größer würde die Erdumlaufbahn werden?

Die Umlaufgeschwindigkeit der Erde um die Sonne ist . So bei einer Masse von $U = 29.8~\mathrm{km~s}^{-1}$

M = 5,97 \times 10^{24} k G,

$M = 5.97\times 10^{24}~\mathrm{kg},$

es hat eine kinetische Energie von

und Impuls

K = 2,65 \times 10^{33} J

$K = 2.65\times 10^{33}~\mathrm{J}$

P = 1,78 \times 10^{29} k G m s^{- 1} .

$P = 1.78\times 10^{29}~\mathrm{kg~m~s^{-1}}.$

$m = 9.47 \times 10^{20}~\mathrm{kg}$ $v$ $2\times U+v$

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Der Gesamtimpuls des Systems muss erhalten bleiben . Ceres hat die Richtung gewechselt und damit einen erheblichen Impuls nach links gewonnen: den gleichen Impuls, den die Erde dann verlieren muss. Auch kinetische Energie bleibt erhalten. Wir haben also ein Gleichungssystem, bei dem die Indizes i und f Anfangs- und Endimpulse und Geschwindigkeiten sind. M und U sind die Masse und Geschwindigkeit der Erde, m und v sind die von Ceres.

M U_{ich}^{2} + m v_{ich}^{2} = M U_{f}^{2} + m v_{f}^{2}

$MU_i^2 + mv_i^2 = MU_f^2 + mv_f^2$

was besagt, dass die Summe der anfänglichen kinetischen Energien der beiden Objekte gleich der Summe der endgültigen kinetischen Energie sein muss. Wir haben auch Impulserhaltung:

M U_{ich} + m {\vec{v}}_{ich} = M U_{f} + m {\vec{v}}_{f}

$MU_i + m\vec{v}_i = MU_f + m\vec{v}_f$

Die Lösung dieser Gleichungen ist

v_{f} = \frac{(1 - m / M) v_{ich} + 2 U_{ich}}{1 - m / M}

$v_f = \frac{(1-m/M)v_i + 2U_i}{1-m/M}$

$v_i = 30~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f = 89.6~\mathrm{km~s}^{-1}$ $v_f \approx 2U+v$

Der letzte Impuls der Erde ist also

M U_{f} = M U_{ich} - m v_{ich} - m v_{f} = 1,78 \times 10^{29} k G m s^{- 1}

$MU_f = MU_i - mv_i - mv_f = 1.78 \times 10^{29}~ \mathrm{kg~m~s^{-1}}$

$mv_i + mv_f = 1.13 \times 10^{23} ~\mathrm{kg~m~s^{-1}}$ $0.019~\mathrm{m~s}^{-1}$

$r=GM_{sun} / v^2$

Ceres ist um viele Größenordnungen größer als jeder Satellit, den wir starten könnten. Wir könnten also praktisch nie ein Raumschiff einsetzen, um unsere Umlaufbahn signifikant zu verändern, und selbst ein enormer Beinahe-Asteroid wäre von geringer Bedeutung. Aber es hat einige nicht davon abgehalten , es zu versuchen !

Moriarty
quelle

Ich bin durch die Behauptung in Ihrer Antwort verwirrt, dass sich die Umlaufbahn der Erde erweitert, wenn sie langsamer wird (was meiner Meinung nach bedeutet, dass sie sich weiter von der Sonne entfernt). Das bedeutet, dass die Erde, wenn sie Energie verliert, von der Sonne abdriftet. anstatt darauf zu verfallen (was mein Verständnis der Newtonschen Physik und der Schwerkraft war). Mir fehlt offensichtlich etwas.

dav1dsm1th

@ dav1dsm1th Es ist eine Manifestation von Keplers drittem Gesetz . Eine andere Art, darüber nachzudenken, ist, dass die Erde, wenn sie sich weiter von der Sonne entfernt, im Austausch gegen kinetische Energie potentielle Gravitationsenergie gewinnt.

Moriarty

Ich muss noch etwas lesen ... Ich kann mich nicht auf die Idee konzentrieren, dass die Erde einen erheblichen Teil ihrer kinetischen Energie verlieren könnte (bei einer sehr unwahrscheinlichen Begegnung mit einem großen Körper) und am Ende enden könnte von der Sonne wegfliegen, anstatt auf sie zu fallen. Danke für die Antwort.

dav1dsm1th

Wenn Ceres beginnt, sich von der Sonne zu entfernen, und der Orbitalschub ihn in Richtung Sonne bewegt, kann die Geschwindigkeit der Erde von der Sonne weg zunehmen, um den Impuls zu erhalten. Ceres bekommt einen Schub in Richtung Sonne, die Erde bekommt einen Schub von der Sonne weg. Diese Geschwindigkeitsänderung kann zu einer größeren Umlaufbahn führen. Ich denke, die Semimajor-Achse der Erde nimmt zu, aber auch die Exzentrizität ihrer Umlaufbahn.

barrycarter

Die Änderung der Exzentrizität der Umlaufbahn hängt davon ab, wo die Kollision stattgefunden hat. Wie in meinem Beispiel angegeben, habe ich Kreisbahnen angenommen, um den Umfang der Antwort zu begrenzen. In Wirklichkeit ist unsere Umlaufbahn exzentrisch, und die Änderungen der Länge der Halb- und Halbachse unserer Umlaufbahn hängen davon ab, wie nahe wir an Perihel und Aphel sind. Wenn die Erde in der Nähe des Perihels an Schwung verliert, verlieren wir die Exzentrizität. Wenn wir in der Nähe des Aphels an Schwung verlieren, gewinnen wir an Exzentrizität. Zumindest hat mich das Kerbal Space Program gelehrt :)

Moriarty

Änderungen in der Erdumlaufbahn

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