Neigungswinkel für einen bestimmten Winkel in der Umlaufbahn eines Planeten berechnen?

Der Hintergrund ist, dass ich versuche, ein Computerprogramm zu schreiben, um zu zeigen, in welchen Winkeln jeder Planet von einem Beobachter außerhalb unseres Sonnensystems vor der Sonne gesehen werden kann. Mein Endspiel besteht darin, die relativen Prozentsätze des Himmels zu berechnen, die eine Gruppe von Planeten gemeinsam durchqueren könnten. Zum Beispiel in der Richtung, in der die Erde im Juni und Dezember von der Sonne entfernt ist, könnte ein außerirdischer Beobachter, der den Erdtransit sehen könnte, auch den Venus-Transit sehen, aber aus dem Winkel, in dem sich die Erde im September oder März befindet, könnten sie ihn niemals sehen Venus Transit.

Ich habe ein Programm mit Basisstatistiken und Kreisbahnen geschrieben, um die Idee zu testen, aber ich möchte es mit tatsächlichen elliptischen Bahnen robuster machen, und ich habe Probleme. Für kreisförmige Umlaufbahnen mit der Sonne im Zentrum konnte ich nur die Neigung der Erdumlaufbahn mal sinder Betrachtungslänge relativ zur Länge des Aufstiegs nehmen.

double viewingLongitude = longitudeRadians - LongitudeOfAscent;
double planetAngle = Inclination * Math.Sin(viewingLongitude);

Zum Beispiel hat die Erdumlaufbahn eine Neigung von 1,57 Grad und eine Aufstiegslänge von 348,74 Grad. Bei 348,74 Grad und 168,74 Grad hat die Erde eine tatsächliche Neigung von 0 Grad. Bei 78,74 Grad und 158,74 Grad hat die Erde eine tatsächliche Neigung von 1,57 und -1,57 Grad von der Ebene.

Gibt es eine ähnlich einfache Möglichkeit, diese Neigung für die elliptische Umlaufbahn der Erde zu berechnen, oder muss ich Keplers Gleichungen lösen?

Kurz gesagt, nein, Sie müssen die Kepler-Gleichung nicht lösen. Wenn Sie eine Betrachtungslänge definieren und den vollständigen Satz der Kepler-Orbitalelemente kennen, können Sie berechnen, ob ein Planet einen Transit anzeigt.

Lassen Sie mich jedoch zunächst einen Teil des Jargons klären. Der Begriff Neigung ist traditionell dem Winkel zwischen der Orbitalebene und der Bezugsebene vorbehalten. Wenn also nicht die gesamte Umlaufbahn wackelt (zum Beispiel aufgrund der Präzession), ist die Neigung für alle Positionen des Planeten konstant.

Der Winkel, der sich ändert, wenn sich der Planet durch die Referenzebene bewegt, ist der Breitengrad. Bei diesem speziellen Problem ist die Berechnung des Breitengrads jedoch nicht besonders nützlich. Die praktischere Koordinate ist die Höhe des Planeten von der Ebene entfernt. Ich nenne dies . Wenn Sie entlang der Sichtlinie Ihres Beobachters feststellen, dass kleiner als der Sonnenradius ist, zeigt der Planet einen Transit.$r_z$$r_z$

Das Erarbeiten einer vollständig allgemeinen elliptischen Umlaufbahn in drei Dimensionen ist etwas schwierig, daher beginne ich mit einem einfachen kartesischen Koordinatensystem, das auf die Orbitalebene ausgerichtet ist. In den folgenden Schritten arbeite ich mich mit einer Reihe von Koordinatentransformationen zurück.

Zuerst eine Liste der Kepler-Parameter und ihrer Bedeutung:

• $\nu$ - wahre Anomalie - Die Winkelposition in Bezug auf das Perigäum in der Orbitalebene.
• $\omega$ - Argument der Periapsis - Die Winkelposition des Perigäums in Bezug auf den aufsteigenden Knoten in der Orbitalebene.
• $\lambda_{asc}$ - die Länge des aufsteigenden Knotens in der unveränderlichen Ebene ( im Bild).$\Omega$
• $i$ - Neigung - der Winkel zwischen der Orbitalebene und der unveränderlichen Ebene, so dass die Rotationsachse ergibt.$\lambda_{asc}$

In der Umlaufbahnebene ist der Radius der Planetenbahn gegeben als Wenn ich das x definiere -Achse, um mit dem aufsteigenden Knoten auszurichten, kann ich den Positionsvektor schreiben als

$$r(\nu) = \frac{a(1-e^2)}{1+e\cos(\nu)}$$ $$\vec{r}_{orb} = r(\nu) \begin{bmatrix} \cos(\omega+\nu) \\ \sin(\omega+\nu) \\ 0 \end{bmatrix}$$

Um zu einem kartesischen Koordinatensystem zu gelangen, das mit der unveränderlichen Ebene ausgerichtet ist, muss ich eine Drehung des Winkels um die x-Achse anwenden , also Jetzt habe ich einen Ausdruck für . Ich muss nur wissen, wie sich auf die Länge des Planeten in der unveränderlichen Ebene bezieht .$i$

$$\vec{r} = R_x(i)\vec{r}_{orb}= r(\nu) \begin{bmatrix} \cos(\omega+\nu) \\ \sin(\omega+\nu)\cos(i) \\ \sin(\omega+\nu)\sin(i) \end{bmatrix}$$ $r_z$$\nu$$\lambda_{planet}$

Ich kann die Länge des Planeten relativ zu als so finden, dass die tatsächliche Länge Invertieren dieses letzten Ausdrucks ergibt $\lambda_{asc}$

$$\lambda'_{planet} = \arctan( \frac{r_y}{r_x} )$$ $$\lambda_{planet} = \lambda_{asc} + \lambda'_{planet}$$ $$\nu(\lambda) = \arctan( \frac{\tan(\lambda - \lambda_{asc})}{\cos(i)} ) - \omega$$

Jetzt habe ich alle Gleichungen, um die Frage zu beantworten: Wenn sich der Planet entlang der Sichtlinie des Beobachters befindet, hat er eine wahre Anomalie von , die eine Höhe über der Ebene ergibt Wenn Der Planet kann auf der Durchreise gesehen werden.$\nu(\lambda_{obs})$

$$r_z(\nu) = r(\nu)\sin(\omega+\nu)\sin(i)$$ $|r_{z}| < R_{sun}$