Wie hat Kepler sein drittes Gesetz aus Daten „erraten“?

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Es ist erstaunlich, dass Kepler seine drei Gesetze ermittelte, indem er Daten ohne Taschenrechner betrachtete und nur Stift und Papier verwendete. Es ist denkbar, wie er bewiesen hat, dass seine Gesetze die Daten beschrieben haben, nachdem er sie bereits vermutet hatte, aber was ich nicht verstehe, ist, wie er sie überhaupt erraten hat.

Ich werde mich insbesondere auf Keplers drittes Gesetz konzentrieren, das besagt, dass das Quadrat der Umlaufbahnperiode eines Planeten proportional zum Würfel der Halb-Hauptachse der Umlaufbahn ist.

Ich gehe davon aus, dass Kepler nur mit Daten über die Planeten, unseren eigenen Mond und die Sonne gearbeitet hat. Ich gehe davon aus, weil ich nicht glaube, dass Kepler Daten über andere Monde, Kometen oder Asteroiden hatte, die mit dem Teleskop noch nicht beobachtet wurden. Wenn dies zutrifft und man weiß, dass Neptun, Uranus und Pluto noch nicht entdeckt wurden, als Kepler noch lebte, bedeutet dies, dass Kepler weniger als 9 Datenpunkte hatte, mit denen er arbeiten konnte.

Mein Freund behauptet, dass es völlig verständlich ist, wie Kepler diese Beziehung erraten hat (obwohl er keine Methode angibt, wie Kepler es getan haben könnte), und dass Keplers Beobachtungen "nicht so schwer" sind. Als Herausforderung gab ich meinem Freund eine Datentabelle mit einer Spalte mit der Bezeichnung , dem anderen und 9 Koordinaten die zur Beziehung passen . Ich sagte "Bitte finde die Beziehung zwischen und ", und wie zu erwarten war, tat er dies nicht.y ( x , y ) x 4 = y 3 x yxy(x,y)x4=y3xy

Erklären Sie mir bitte, wie Kepler diese Beziehung mit so wenigen Datenpunkten erraten hat. Und wenn meine Annahme, dass die Anzahl der Datenpunkte, die Kepler zur Verfügung hatte, gering ist, falsch ist, dann halte ich es immer noch für ziemlich schwierig, diese Beziehung ohne einen Taschenrechner zu erraten.

Joshua Benabou
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Er verwendete nur Daten über den Mars. Sein Chef, Tycho Brahe, forderte ihn auf, die rückläufige Bewegung des Mars ein für alle Mal herauszufinden. Und das hat er fantastisch gemacht. Das dritte Gesetz kam von seiner astrologischen Musteranpassung in Harmonices Mundi. Und er hatte genügend Daten, um dieses geometrische Problem zu lösen. Mehr Daten hätten ihm nicht geholfen. Tatsächlich wählte er nur eine Teilmenge der Marsgegensätze aus, die Tycho Brahe beobachtet hatte.
LocalFluff
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Cross-posted auf Physik und dann zu HSM migriert .
HDE 226868
Kepler verfügte über zahlreiche Daten, um sein erstes und zweites Gesetz abzuleiten, die jeweils für einen einzelnen Planeten gelten. Sein drittes Gesetz ist jedoch ein völlig anderes Tier. Es verknüpft die Umlaufbahnmerkmale verschiedener Planeten miteinander. Unabhängig davon, wie viele Daten Tycho gesammelt hatte, gab es nur sechs Planeten (die Erde, aber nicht die Sonne oder den Mond), und ihre Umlaufbahnmerkmale wurden von Kepler nicht so genau beobachtet, wie (mühsam) berechnet. Sechs Punkte mit jeweils hoher Fehlertoleranz reichen aus, um einen linearen Zusammenhang zu demonstrieren, jedoch kaum.
Ganbustein
@LocalFluff: Ich habe auch gelesen, dass Kepler im Grunde nur Daten über den Mars verwendet hat. Aber da das dritte Gesetz Beziehungen zwischen Umlaufzeiten verschiedener Satelliten ausdrückt , wie hätte er das möglicherweise tun können, egal wie viele Informationen über den Mars allein er hatte?
Marc van Leeuwen
@MarcvanLeeuwen Ich denke, dass es auf seine neue physische Sicht der Dinge ankommt. Dass die gleichen Naturgesetze alle Bewegungen allgemein leiten. Andere führten später die mühsamen Berechnungen durch, um dies für alle Planeten und den Mond zu bestätigen, und Halley für einen Kometen, sicherlich bereits im 17. Jahrhundert. Nur die Umlaufbahn von Merkur passte wegen subtiler relativistischer Effekte nicht ganz.
LocalFluff

Antworten:

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Keplers drittes Gesetz ist (meiner Meinung nach) im Vergleich zu seinem ersten Gesetz trivial. Ich bin ziemlich beeindruckt, dass er daraus schließen konnte, dass die Umlaufbahnen Ellipsen waren. Um das zu bekommen, musste er hin und her gehen und die Richtung des Mars von der Erde und die Richtung der Erde vom Mars aus zeichnen. Er kannte die Länge der beiden Planetenjahre, sodass Beobachtungen, die ein Marsjahr auseinander lagen, sich nur deshalb unterschieden, weil sich die Erde bewegt hatte.

Aber vielleicht nicht so trivial. 1609 veröffentlichte er seine ersten beiden Gesetze. Das dritte Gesetz kam erst zehn Jahre später, 1619, heraus. Zehn Jahre später wird sogar die dunkelste Beziehung gefunden.

Zeichnen Sie die Logarithmen der Zahlen, um ein Kräfteverhältnis zu ermitteln. In Ihrem Beispiel mit würden die Protokolle auf einer geraden Linie mit einer Steigung von . 3 / 4x4=y33/4

Das Timing ist richtig. Napier veröffentlichte 1614 sein Buch über Logarithmen. Kepler hat dieses glänzende neue mathematische Werkzeug vielleicht aus einer Laune heraus auf seine knusprigen alten Daten angewendet.

Die größte Hürde war, dass es zu der Zeit nur sechs bekannte Planeten gab, so dass er nicht über eine Fülle von Datenpunkten verfügte und die, die er hatte, keineswegs genau waren.

Keplers anderes Problem ist, dass ihm keines seiner Gesetze einen Sinn machte. Sie passten zu den Daten, aber er hatte keine Ahnung warum. Er hatte keine Newtonschen Bewegungsgesetze, nach denen er arbeiten konnte, er hatte kein Verständnis für Kraft, Impuls, Drehimpuls und schon gar nicht für die Schwerkraft. Soweit er wusste, bewegten sich die Planeten so wie sie es taten, weil Gott es verfügte, und Engel wurden beauftragt, die Planeten entlang ihrer Umlaufbahnen zu schieben. Die äußeren Planeten bewegten sich langsamer, weil sie von kleineren Engeln geschoben wurden.

(Feynman macht den Kommentar, den wir jetzt so viel besser verstehen. Wir wissen jetzt, dass die Engel von außen auf die Sonne zu drängen.)

Ganbustein
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Obwohl ich kaum ein Gelehrter von Keplers Werk bin, ist AFAIK die Zuschreibung der Engelerklärung an Kepler eine vollständige Erfindung. Haben Sie eine Referenz dafür, die entweder von Kepler geschrieben wurde oder die Kepler direkt zitiert?
Stan Liou
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Kepler versuchte tatsächlich, Magnetismus (damals wegen William Gilbert populär) dazu zu bringen, die Bewegungen der Planeten um die Sonne zu erklären. Dies ist das Fundament der Physik. Er ließ die Engel in der Kirche. Und er verwendete nur ausgewählte Daten über den Mars und hatte viel mehr Daten, als er verarbeiten konnte. Big Data seiner Zeit. Datenmangel war überhaupt nicht sein Problem.
LocalFluff
In der Tat Caspar p. 67: "Es ist der neue Gedanke, dass sich in der Sonne eine Kraft befindet, die die Planetenbewegungen erzeugt, und die umso schwächer ist, je weiter der Planet von der Quelle der Kraft entfernt ist Buch spricht er von einer "Anima Motrix", einer bewegenden Seele, aber schon in einem Brief aus dieser Zeit verwendet er das Wort "Kraft", "Kraft". Aber anima motrix kein Engel ist ... dieser deutsche Wikipedia - Artikel über anima motrix ist auch interessant.
Stan Liou
@StanLiou Ja, man muss den Kontext der Wörter im Auge behalten. "Seele" ist ein Wort für Kraft. Genauso wie wir heute einfache Wörter für Naturphänomene und Landwirtschaft verwenden, um unsere technologische Gesellschaft zu beschreiben: (Weizen-) Feld, (Fischerei-) Netz, (Fluss-) Strömung. Sogar neue Begriffe werden als "Cloud" bezeichnet. Wir meinen es nicht wörtlich, noch war das Wort "Seele" immer wörtlich gemeint. Ein mittelalterlicher Bauer könnte durch ein Lehrbuch über Elektronik ziemlich verwirrt werden!
LocalFluff
@LocalFluff Ja, um einen vertrauten Vergleich anzustellen, der ursprüngliche Name der kinetischen Energie war vis viva ("lebende Kraft"), der Begriff, der aus früheren Überlieferungen übernommen wurde, sich aber nicht auf das buchstäbliche Leben bezieht. Auch in der Orbitalmechanik hat sich der Begriff bis heute erhalten.
Stan Liou
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Keplers Bericht über die Entstehung des dritten Gesetzes lautet wie folgt (Caspar S.286; Hervorhebung meines):

Am 8. März dieses Jahres 1618 tauchte in meinem Kopf eine genaue Information über die gewünschte Zeit auf. Aber ich hatte Pech, als ich es in die Berechnung einfügte und als falsch zurückwies. Schließlich, am 15. Mai, kam es wieder und mit einem neuen Beginn eroberte ich die Dunkelheit meines Geistes, wo es eine so hervorragende Übereinstimmung zwischen meiner siebzehnjährigen Arbeit bei den Tychonic-Beobachtungen und meiner gegenwärtigen Überlegung gab, dass ich zunächst glaubte, dies getan zu haben träumte und übernahm die in den Belegen gesuchten Beweise. Es ist jedoch völlig sicher und genau, dass das Verhältnis zwischen den periodischen Zeiten zweier Planeten genau das Eineinhalbfache des Verhältnisses der mittleren Entfernungen beträgt .

Obwohl Kepler die Inspiration, die ihn zu dieser Annahme veranlasste, nicht beschreibt, liefert die merkwürdige Formulierung einen sehr starken Hinweis, wenn sie mit einigen biografischen Hintergrundinformationen kombiniert wird:

  1. John Napier veröffentlichte 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto , das die damals neue Erfindung der Logarithmen enthielt. Kepler war von Napiers Werk bis 1617 (Caspar S. 308) bekannt, vielleicht schon früher.
  2. Joost Bürgi veröffentlichte seine Arbeiten zu Logarithmen fast zur gleichen Zeit wie Napier, und Kepler war sich Bürgis ebenfalls bewusst und lobte seine mathematischen Fähigkeiten sogar als die meisten Mathematikprofessoren übertreffend.

Die Aussage von Kepler ist also gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Daten in einem Log-Log-Diagramm eine Steigung von 1,5 aufweisen, was eine sehr einfache lineare Beziehung auf dieser Skala darstellt.


Verweise:

  1. Caspar, Max, Kepler (Dover, New York, 1993).
Stan Liou
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Interessant, dass er die mittlere Distanz erwähnte .
CodesInChaos