Wie hat Kepler sein drittes Gesetz aus Daten „erraten“?

Es ist erstaunlich, dass Kepler seine drei Gesetze ermittelte, indem er Daten ohne Taschenrechner betrachtete und nur Stift und Papier verwendete. Es ist denkbar, wie er bewiesen hat, dass seine Gesetze die Daten beschrieben haben, nachdem er sie bereits vermutet hatte, aber was ich nicht verstehe, ist, wie er sie überhaupt erraten hat.

Ich werde mich insbesondere auf Keplers drittes Gesetz konzentrieren, das besagt, dass das Quadrat der Umlaufbahnperiode eines Planeten proportional zum Würfel der Halb-Hauptachse der Umlaufbahn ist.

Ich gehe davon aus, dass Kepler nur mit Daten über die Planeten, unseren eigenen Mond und die Sonne gearbeitet hat. Ich gehe davon aus, weil ich nicht glaube, dass Kepler Daten über andere Monde, Kometen oder Asteroiden hatte, die mit dem Teleskop noch nicht beobachtet wurden. Wenn dies zutrifft und man weiß, dass Neptun, Uranus und Pluto noch nicht entdeckt wurden, als Kepler noch lebte, bedeutet dies, dass Kepler weniger als 9 Datenpunkte hatte, mit denen er arbeiten konnte.

Mein Freund behauptet, dass es völlig verständlich ist, wie Kepler diese Beziehung erraten hat (obwohl er keine Methode angibt, wie Kepler es getan haben könnte), und dass Keplers Beobachtungen "nicht so schwer" sind. Als Herausforderung gab ich meinem Freund eine Datentabelle mit einer Spalte mit der Bezeichnung , dem anderen und 9 Koordinaten die zur Beziehung passen . Ich sagte "Bitte finde die Beziehung zwischen und ", und wie zu erwarten war, tat er dies nicht.y ( x , y ) x 4 = y 3 x $x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Erklären Sie mir bitte, wie Kepler diese Beziehung mit so wenigen Datenpunkten erraten hat. Und wenn meine Annahme, dass die Anzahl der Datenpunkte, die Kepler zur Verfügung hatte, gering ist, falsch ist, dann halte ich es immer noch für ziemlich schwierig, diese Beziehung ohne einen Taschenrechner zu erraten.

Keplers drittes Gesetz ist (meiner Meinung nach) im Vergleich zu seinem ersten Gesetz trivial. Ich bin ziemlich beeindruckt, dass er daraus schließen konnte, dass die Umlaufbahnen Ellipsen waren. Um das zu bekommen, musste er hin und her gehen und die Richtung des Mars von der Erde und die Richtung der Erde vom Mars aus zeichnen. Er kannte die Länge der beiden Planetenjahre, sodass Beobachtungen, die ein Marsjahr auseinander lagen, sich nur deshalb unterschieden, weil sich die Erde bewegt hatte.

Aber vielleicht nicht so trivial. 1609 veröffentlichte er seine ersten beiden Gesetze. Das dritte Gesetz kam erst zehn Jahre später, 1619, heraus. Zehn Jahre später wird sogar die dunkelste Beziehung gefunden.

Zeichnen Sie die Logarithmen der Zahlen, um ein Kräfteverhältnis zu ermitteln. In Ihrem Beispiel mit würden die Protokolle auf einer geraden Linie mit einer Steigung von . 3 /$x^4 = y^3$$3/4$

Das Timing ist richtig. Napier veröffentlichte 1614 sein Buch über Logarithmen. Kepler hat dieses glänzende neue mathematische Werkzeug vielleicht aus einer Laune heraus auf seine knusprigen alten Daten angewendet.

Die größte Hürde war, dass es zu der Zeit nur sechs bekannte Planeten gab, so dass er nicht über eine Fülle von Datenpunkten verfügte und die, die er hatte, keineswegs genau waren.

Keplers anderes Problem ist, dass ihm keines seiner Gesetze einen Sinn machte. Sie passten zu den Daten, aber er hatte keine Ahnung warum. Er hatte keine Newtonschen Bewegungsgesetze, nach denen er arbeiten konnte, er hatte kein Verständnis für Kraft, Impuls, Drehimpuls und schon gar nicht für die Schwerkraft. Soweit er wusste, bewegten sich die Planeten so wie sie es taten, weil Gott es verfügte, und Engel wurden beauftragt, die Planeten entlang ihrer Umlaufbahnen zu schieben. Die äußeren Planeten bewegten sich langsamer, weil sie von kleineren Engeln geschoben wurden.

(Feynman macht den Kommentar, den wir jetzt so viel besser verstehen. Wir wissen jetzt, dass die Engel von außen auf die Sonne zu drängen.)

Keplers Bericht über die Entstehung des dritten Gesetzes lautet wie folgt (Caspar S.286; Hervorhebung meines):

Am 8. März dieses Jahres 1618 tauchte in meinem Kopf eine genaue Information über die gewünschte Zeit auf. Aber ich hatte Pech, als ich es in die Berechnung einfügte und als falsch zurückwies. Schließlich, am 15. Mai, kam es wieder und mit einem neuen Beginn eroberte ich die Dunkelheit meines Geistes, wo es eine so hervorragende Übereinstimmung zwischen meiner siebzehnjährigen Arbeit bei den Tychonic-Beobachtungen und meiner gegenwärtigen Überlegung gab, dass ich zunächst glaubte, dies getan zu haben träumte und übernahm die in den Belegen gesuchten Beweise. Es ist jedoch völlig sicher und genau, dass das Verhältnis zwischen den periodischen Zeiten zweier Planeten genau das Eineinhalbfache des Verhältnisses der mittleren Entfernungen beträgt .

Obwohl Kepler die Inspiration, die ihn zu dieser Annahme veranlasste, nicht beschreibt, liefert die merkwürdige Formulierung einen sehr starken Hinweis, wenn sie mit einigen biografischen Hintergrundinformationen kombiniert wird:

1. John Napier veröffentlichte 1614 Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto , das die damals neue Erfindung der Logarithmen enthielt. Kepler war von Napiers Werk bis 1617 (Caspar S. 308) bekannt, vielleicht schon früher.
2. Joost Bürgi veröffentlichte seine Arbeiten zu Logarithmen fast zur gleichen Zeit wie Napier, und Kepler war sich Bürgis ebenfalls bewusst und lobte seine mathematischen Fähigkeiten sogar als die meisten Mathematikprofessoren übertreffend.

Die Aussage von Kepler ist also gleichbedeutend mit der Aussage, dass die Daten in einem Log-Log-Diagramm eine Steigung von 1,5 aufweisen, was eine sehr einfache lineare Beziehung auf dieser Skala darstellt.

Verweise:

1. Caspar, Max, Kepler (Dover, New York, 1993).