Bei dieser Herausforderung werden Sie Pseudopolyformen auf dem Snub-Square-Tiling zählen .

Ich denke, dass diese Sequenz im OEIS noch nicht vorhanden ist , daher besteht diese Herausforderung darin, so viele Begriffe wie möglich für diese Sequenz zu berechnen.

Update: Dies ist jetzt auf dem OEIS als A309159 : Anzahl der verallgemeinerten Polyformen auf dem Snub-Square-Tiling mit n Zellen.

Definitionen

Das Snub-Quadrat-Tiling ist ein halbrundes Tiling der Ebene, das aus gleichseitigen Dreiecken und Quadraten besteht.

Eine Pseudopolyform auf dem Snub-Quadrat-Tiling ist eine ebene Figur, die analog zu einem Polyomino durch Zusammenfügen dieser Dreiecke und Quadrate entlang ihrer gemeinsamen Seiten konstruiert wird. Hier ist ein Beispiel für eine Pseudopolyform mit sechs und acht Zellen:

Beispiele

Denn n = 1es gibt zwei 1-Zellen-Pseudopolyformen, nämlich das Quadrat und das Dreieck:

Denn n = 2es gibt zwei 2-Zellen-Pseudopolyformen, nämlich ein Quadrat mit einem Dreieck und zwei Dreiecken.

Denn n = 3es gibt vier 3-Zellen-Pseudopolyformen.

Herausforderung

Das Ziel dieser Herausforderung ist es, so viele Terme wie möglich in dieser Sequenz zu berechnen, die beginnt 2, 2, 4, ...und bei der der n-te Term die Anzahl der n-Zellen-Pseudopolyformen bis zur Drehung und Reflexion ist.

Führen Sie Ihren Code so lange aus, wie Sie möchten. Der Gewinner dieser Herausforderung ist der Benutzer, der zusammen mit seinem Code die meisten Begriffe der Sequenz veröffentlicht. Wenn zwei Benutzer die gleiche Anzahl von Begriffen veröffentlichen, gewinnt derjenige, der seinen letzten Begriff frühestens veröffentlicht.

(Sobald genügend bekannte Begriffe vorhanden sind, um zu beweisen, dass diese Sequenz noch nicht im OEIS vorhanden ist, erstelle ich einen Eintrag im OEIS und liste den Mitwirkenden als Mitautor auf, wenn er dies wünscht.)

Haskell

Nun, da nicht nur die Kommentare belegen, dass Peter Taylor als erster genügend Begriffe für die Suche in OEIS angegeben hat, kann ich meine Ergebnisse angeben.

( 1 - 10) 2, 2, 4, 10, 28, 79, 235, 720, 2254, 7146,
(11 - 15) 22927, 74137, 241461, 790838, 2603210,
(16 - 18) 8604861, 28549166, 95027832,
(19 - 22) 317229779, 1061764660, 3562113987, 11976146355

Früher habe ich hexagonale Polyomino gezählt . Abgesehen von einigen Optimierungen ist das, was ich hier mache, sehr ähnlich.

Die Elemente der Kacheln werden wie folgt dargestellt: Sie können in einer fast geraden Linie von links nach rechts (im ersten Bild) zwischen Quadraten und Rechtecken wechseln. Es gibt fast parallel weitere Linien, die in entgegengesetzte Richtungen wackeln. Zusammen vermissen sie einige Dreiecke. Es gibt ähnliche, fast gerade parallele Linien von unten nach oben, die die fehlenden Dreiecke enthalten. Ignorieren Sie nun das Wackeln und verwenden Sie ein kartesisches Koordinatensystem, verwenden Sie jedoch nur ungerade Zahlen für die Koordinaten der Quadrate. Dann erhalten die Dreiecke natürlich Koordinatenpaare mit einer geraden und einer ungeraden Koordinate. Paare mit beiden Koordinaten repräsentieren sogar keine Elemente der Kachelung.

(Sie können auch gerade Zahlen für die Koordinaten der Quadrate verwenden. Ich glaube, ich habe mich auf diese Weise entschieden, weil ich über Reflexion vor Rotation nachgedacht habe.)

Speichern Sie das Programm in einer Datei mit einem Namen wie cgp.hs und kompilieren Sie mit ghc -O2 -o cgp cgp.hs. Es verwendet entweder ein numerisches Befehlszeilenargument und berechnet die Anzahl der Polyominoes dieser Größe oder keines. In diesem Fall werden Werte berechnet, bis sie gestoppt werden.

{-# LANGUAGE BangPatterns #-}

import Data.List(sort)
import qualified Data.Set as S
import System.Environment(getArgs)

data Point = P !Int !Int deriving (Eq,Ord)

start :: Point
start = P 1 1

redsq :: Point -> Bool
redsq (P x y) = (x+y) `mod` 4 == 2

neighs :: Point -> [Point]
neighs (P x y) =
  case (even x, even y) of
    (False,False) -> [P x (y+1), P (x+1) y, P x (y-1), P (x-1) y]
    (True, False) -> (P x (c y (x+y+1))) : opt [P (x-1) y, P (x+1) y]
    (False,True ) -> (P (c x (x+y-1)) y) : opt [P x (y-1), P x (y+1)]
  where
    opt = filter ok
    ok p = p>start || not (redsq p)
    c z m = if m `mod` 4 == 0 then z+2 else z-2

count :: S.Set Point -> S.Set Point -> [Point] -> Int -> Int -> Int -> Int -> Int
count use _    _            0 c r y =
  if check (S.toAscList use) (y==r)
    then c+1
    else c
count _   _    []           _ c _ _ = c
count use seen (p:possible) n c r y =
  let !c' = count use seen possible n c r y
      new = filter (`S.notMember` seen) $ neighs p
      !r' = if redsq p then r+1 else r
      !y' = if redsq (mirror p) then y+1 else y
      !n' = n-1
  in if r'+n' < y' 
       then c'
       else count (S.insert p use) (foldr S.insert seen new) (new++possible)
                  n' c' r' y'

class Geom g where
  translate :: Int -> Int -> g -> g
  rot :: g -> g
  mirror :: g -> g

instance Geom Point where
  translate dx dy (P x y) = P (dx+x) (dy+y)
  rot (P x y) = P (2-y) x    -- rotate around (1,1)
  mirror (P x y) = P x (-y)

instance (Geom g, Ord g) => Geom [g] where
  translate x y = map $ translate x y
  rot = sort . map rot
  mirror = sort . map mirror

normalize :: [Point] -> [Point]
normalize pol = let (P x y) = head (filter redsq pol)
                in translate (1-x) (1-y) pol

check :: [Point] -> Bool -> Bool
check pol !cm = let rotated = take 4 $ iterate rot pol
                    mirrored = if cm then map mirror rotated else []
                    alts = map normalize (tail rotated ++ mirrored)
                in all (pol<=) alts

f :: Int -> Int
f 0 = 1; f 1 = 2; f 2 = 2
f n = count S.empty S.empty [start] n 0 0 0

output :: Int -> IO ()
output n = putStrLn $ show n ++ ": " ++ show (f n)

main = do args <- getArgs
          case args of
            []  -> mapM_ output [1..]
            [n] -> output (read n)

Probieren Sie es online!

2, 2, 4, 10, 28, 79, 235, 720, 2254, 7146, 22927, 74137, 241461, 790838, 2603210, 8604861, 28549166, 95027832

Ich werde einen Einsatz machen, bevor Christian Sievers eine Antwort für n = 18 gibt. Dies ist so weit ich mit dem aktuellen Code und 16 GB RAM gehen kann. Ich musste bereits etwas Geschwindigkeit opfern, um die Speichernutzung zu reduzieren, und ich werde dies noch mehr tun müssen. Ich habe einige Ideen ...

Dieser Ausschnitt ist die SVG aus dem ersten Kommentar.

<svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="130" height="130">
  <path style="stroke:none; fill:#f22" d="M 72,72 l -14.235,53.1259 -53.1259,-14.235 14.235,-53.1259 z" />  <!-- "Anticlockwise" square -->
  <path style="stroke:none; fill:#44f" d="M 72,72 l 53.1259,-14.235 -14.235,-53.1259 -53.1259,14.235 z" />  <!-- "Clockwise" square -->

  <path style="stroke:none; fill:#4f4" d="M 72,72 l 38.89,38.89 14.235,-53.1259 z" />  <!-- "NE" triangle -->
  <path style="stroke:none; fill:#ff4" d="M 72,72 l 38.89,38.89 -53.1259,14.235 z" />  <!-- "SW" triangle -->
  <path style="stroke:none; fill:#4ff" d="M 72,72 m -53.1259,-14.235 l 38.89,-38.89 -53.1259,-14.235 z" />  <!-- "NW" triangle -->

  <path style="stroke:#000; fill:none" d="M 72,72 m 38.89,38.89 l 14.235,-53.1259 -14.235,-53.1259 -53.1259,14.235 -53.1259,-14.235 14.235,53.1259 -14.235,53.1259 53.1259,14.235 53.1259,-14.235" />
</svg>

Code ist C #. Ich habe es mit .Net Core 2.2.6 unter Linux betrieben.

#define SUPERLIGHT
using System;
using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using System.Diagnostics;
using System.Linq;

namespace Sandbox
{
    // /codegolf/187763/counting-generalized-polyominoes
    // Count polyominos on the snub square tiling.

    // We index the tiles using the following basic element, which tiles like a square:
    /*
        <?xml version="1.0" standalone="no"?>
        <!DOCTYPE svg PUBLIC "-//W3C//DTD SVG 1.1//EN" "http://www.w3.org/Graphics/SVG/1.1/DTD/svg11.dtd">
        <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="130" height="130">
            <path style="stroke:none; fill:#f22" d="M 72,72 l -14.235,53.1259 -53.1259,-14.235 14.235,-53.1259 z" />  <!-- "Anticlockwise" square -->
            <path style="stroke:none; fill:#44f" d="M 72,72 l 53.1259,-14.235 -14.235,-53.1259 -53.1259,14.235 z" />  <!-- "Clockwise" square -->

            <path style="stroke:none; fill:#4f4" d="M 72,72 l 38.89,38.89 14.235,-53.1259 z" />  <!-- "NE" triangle -->
            <path style="stroke:none; fill:#ff4" d="M 72,72 l 38.89,38.89 -53.1259,14.235 z" />  <!-- "SW" triangle -->
            <path style="stroke:none; fill:#4ff" d="M 72,72 m -53.1259,-14.235 l 38.89,-38.89 -53.1259,-14.235 z" />  <!-- "NW" triangle -->
            <!-- There's a "SE" triangle, but it's unfilled -->

            <path style="stroke:#000; fill:none" d="M 72,72 m 38.89,38.89 l 14.235,-53.1259 -14.235,-53.1259 -53.1259,14.235 -53.1259,-14.235 14.235,53.1259 -14.235,53.1259 53.1259,14.235 53.1259,-14.235" />
        </svg>
    */
    // In terms of symmetries, we have rotation by 90 degrees and reflection, possibly with glide.
    // We obviously want a canonical representation.
    //   Reflection interchanges "anticlockwise" and "clockwise" squares, so we shall require at least as many anticlockwise as clockwise.
    //   Rotation anticlockwise by 90 maps NE -> NW -> SW -> SE -> NE. We rotate to get a standard necklace.
    //   Further ties must be broken lexicographically, after translating to give minimum X and Y of 0.
    class PPCG187763
    {

        internal static void Main()
        {
            SanityChecks();

            var polyominos = new HashSet<TileSet>();
            polyominos.Add(new TileSet(Enumerable.Repeat(new Tile { X = 0, Y = 0, Shape = TileShape.SE }, 1)));
            polyominos.Add(new TileSet(Enumerable.Repeat(new Tile { X = 0, Y = 0, Shape = TileShape.Anticlockwise }, 1)));
            Console.WriteLine($"1\t{polyominos.Count}");
            for (int tileCount = 2; tileCount < 60; tileCount++)
            {
                var sw = new Stopwatch();
                sw.Start();
                var nextPolyominos = new HashSet<TileSet>();
                // TODO This can be greatly optimised by tracking discarded insertion points
                foreach (var polyomino in polyominos)
                {
                    foreach (var neighbour in polyomino.SelectMany(tile => tile.Neighbours).Distinct())
                    {
                        if (!polyomino.Contains(neighbour)) nextPolyominos.Add(new TileSet(polyomino.Concat(Enumerable.Repeat(neighbour, 1))));
                    }
                }
                polyominos = nextPolyominos;
                Console.WriteLine($"{tileCount}\t{polyominos.Count}\t{sw.ElapsedMilliseconds}ms");
            }
        }

        private static void SanityChecks()
        {
            var cluster = new HashSet<Tile>();
            cluster.Add(new Tile { Shape = TileShape.Anticlockwise });
            for (int i = 0; i < 3; i++)
            {
                foreach (var tile in cluster.SelectMany(tile => tile.Neighbours).ToList()) cluster.Add(tile);
            }

            foreach (var tile in cluster)
            {
                foreach (var neighbour in tile.Neighbours)
                {
                    if (!neighbour.Neighbours.Contains(tile))
                    {
                        throw new Exception("Assertion failed: adjacency isn't symmetric");
                    }

                    if (!tile.Flip().Neighbours.Contains(neighbour.Flip()))
                    {
                        throw new Exception("Assertion failed: flip doesn't preserve adjacency");
                    }

                    if (!tile.Rot().Neighbours.Contains(neighbour.Rot()))
                    {
                        throw new Exception("Assertion failed: rot doesn't preserve adjacency");
                    }

                    if (!tile.Equals(tile.Rot().Rot().Rot().Rot()))
                    {
                        throw new Exception("Assertion failed: rot^4 should be identity");
                    }
                }
            }
        }

        struct Tile : IComparable<Tile>
        {
            public TileShape Shape { get; set; }
            public sbyte X { get; set; }
            public sbyte Y { get; set; }

            public IEnumerable<Tile> Neighbours
            {
                get
                {
                    switch (Shape)
                    {
                        case TileShape.Anticlockwise:
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.SE };
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.SW };
                            yield return new Tile { X = X, Y = (sbyte)(Y - 1), Shape = TileShape.NW };
                            yield return new Tile { X = (sbyte)(X - 1), Y = Y, Shape = TileShape.NE };
                            break;

                        case TileShape.Clockwise:
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.SE };
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.NE };
                            yield return new Tile { X = X, Y = (sbyte)(Y + 1), Shape = TileShape.SW };
                            yield return new Tile { X = (sbyte)(X + 1), Y = Y, Shape = TileShape.NW };
                            break;

                        case TileShape.NE:
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.SW };
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.Clockwise };
                            yield return new Tile { X = (sbyte)(X + 1), Y = Y, Shape = TileShape.Anticlockwise };
                            break;

                        case TileShape.NW:
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.SE };
                            yield return new Tile { X = (sbyte)(X - 1), Y = Y, Shape = TileShape.Clockwise };
                            yield return new Tile { X = X, Y = (sbyte)(Y + 1), Shape = TileShape.Anticlockwise };
                            break;

                        case TileShape.SE:
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.NW };
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.Clockwise };
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.Anticlockwise };
                            break;

                        case TileShape.SW:
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.NE };
                            yield return new Tile { X = X, Y = (sbyte)(Y - 1), Shape = TileShape.Clockwise };
                            yield return new Tile { X = X, Y = Y, Shape = TileShape.Anticlockwise };
                            break;

                        default:
                            throw new NotSupportedException();
                    }
                }
            }

            public Tile Flip()
            {
                // We'll flip vertically.
                switch (Shape)
                {
                    case TileShape.Anticlockwise:
                        return new Tile { Shape = TileShape.Clockwise, X = X, Y = (sbyte)-Y };
                    case TileShape.Clockwise:
                        return new Tile { Shape = TileShape.Anticlockwise, X = (sbyte)(X + 1), Y = (sbyte)-Y };
                    case TileShape.NE: // G
                        return new Tile { Shape = TileShape.SE, X = (sbyte)(X + 1), Y = (sbyte)-Y };
                    case TileShape.NW: // Cy
                        return new Tile { Shape = TileShape.SW, X = X, Y = (sbyte)-Y };
                    case TileShape.SE: // W
                        return new Tile { Shape = TileShape.NE, X = X, Y = (sbyte)-Y };
                    case TileShape.SW: // Y
                        return new Tile { Shape = TileShape.NW, X = (sbyte)(X + 1), Y = (sbyte)-Y };
                    default:
                        throw new NotSupportedException();
                }
            }

            public Tile Rot()
            {
                // Anti-clockwise rotation: (x, y) = (-y, x)
                // But there will be offsets to account for the positions within the cell
                switch (Shape)
                {
                    case TileShape.Anticlockwise:
                        return new Tile { Shape = TileShape.Anticlockwise, X = (sbyte)-Y, Y = X };
                    case TileShape.Clockwise:
                        return new Tile { Shape = TileShape.Clockwise, X = (sbyte)(-Y - 1), Y = X };
                    case TileShape.NE:
                        return new Tile { Shape = TileShape.NW, X = (sbyte)-Y, Y = X };
                    case TileShape.NW:
                        return new Tile { Shape = TileShape.SW, X = (sbyte)(-Y - 1), Y = X };
                    case TileShape.SE:
                        return new Tile { Shape = TileShape.NE, X = (sbyte)(-Y - 1), Y = X };
                    case TileShape.SW:
                        return new Tile { Shape = TileShape.SE, X = (sbyte)-Y, Y = X };
                    default:
                        throw new NotSupportedException();
                }
            }

            public override int GetHashCode() => (X << 17) + (Y << 3) + (int)Shape;

            public bool Equals(Tile tile) => X == tile.X && Y == tile.Y && Shape == tile.Shape;

            public override bool Equals(object obj) => obj is Tile tile && Equals(tile);

            public int CompareTo(Tile other)
            {
                if (X != other.X) return X.CompareTo(other.X);
                if (Y != other.Y) return Y.CompareTo(other.Y);
                return Shape.CompareTo(other.Shape);
            }

            public override string ToString() => $"({X},{Y},{Shape})";
        }

        enum TileShape : byte
        {
            Anticlockwise,
            Clockwise,
            NE,
            SW,
            NW,
            SE
        }

        class TileSet : IReadOnlyCollection<Tile>
        {
            public TileSet(IEnumerable<Tile> tiles)
            {
                // Canonicalise
                var ordered = _Canonicalise(new HashSet<Tile>(tiles));
                int h = 1;
                foreach (var tile in ordered) h = h * 37 + tile.GetHashCode();
                _HashCode = h;

                #if SUPERLIGHT

                // Since we normalise to have minimum X and Y of 0, we can use unsigned coordinates.
                // And since we're looking at connected graphs of on the order of 20 items, 6 bits per coordinate is plenty.
                _Items = ordered.Select(tile => (short)((tile.X << 9) + (tile.Y << 3) + (int)tile.Shape)).ToArray();

                #else

                _Items = new HashSet<Tile>(ordered);

                #endif
            }

            private IReadOnlyList<Tile> _Canonicalise(ISet<Tile> tiles)
            {
                int ac = tiles.Count(tile => tile.Shape == TileShape.Anticlockwise);
                int c = tiles.Count(tile => tile.Shape == TileShape.Clockwise);

                if (ac < c) return _CanonicaliseRot(tiles);
                if (ac > c) return _CanonicaliseRot(tiles.Select(tile => tile.Flip()));

                return _Min(_CanonicaliseRot(tiles), _CanonicaliseRot(tiles.Select(tile => tile.Flip())));
            }

            private IReadOnlyList<Tile> _Min(IReadOnlyList<Tile> tiles1, IReadOnlyList<Tile> tiles2)
            {
                for (int i = 0; i < tiles1.Count; i++)
                {
                    int cmp = tiles1[i].CompareTo(tiles2[i]);
                    if (cmp < 0) return tiles1;
                    if (cmp > 0) return tiles2;
                }

                return tiles1;
            }

            private IReadOnlyList<Tile> _CanonicaliseRot(IEnumerable<Tile> tiles)
            {
                //   Rotation anticlockwise by 90 maps NE -> NW -> SW -> SE -> NE. We rotate to get one of these necklaces (in rank order, not exact values):
                //     Necklaces:
                //     SE NE NW SW
                //     0  0  0  0    ** Four positions to consider
                //     1  0  0  0
                //     1  0  1  0    ** Two positions to consider
                //     1  1  0  0
                //     1  1  1  0
                //     2  0  0  1
                //     2  0  1  0
                //     2  0  1  1
                //     2  1  0  0
                //     2  1  0  1
                //     2  1  1  0
                //     2  1  2  0
                //     2  2  0  1
                //     2  2  1  0
                //     3  0  1  2
                //     3  0  2  1
                //     3  1  0  2
                //     3  1  2  0
                //     3  2  0  1
                //     3  2  1  0

                int se = tiles.Count(tile => tile.Shape == TileShape.SE);
                int ne = tiles.Count(tile => tile.Shape == TileShape.NE);
                int nw = tiles.Count(tile => tile.Shape == TileShape.NW);
                int sw = tiles.Count(tile => tile.Shape == TileShape.SW);
                var sorted = new int[] { se, ne, nw, sw }.Distinct().OrderBy(x => x);
                var index = 1000 * sorted.IndexOf(se) + 100 * sorted.IndexOf(ne) + 10 * sorted.IndexOf(nw) + sorted.IndexOf(sw);
                switch (index)
                {
                    case 0:
                        // All four positions need to be considered
                        var best = _Translate(tiles);
                        best = _Min(best, _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot())));
                        best = _Min(best, _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot().Rot())));
                        best = _Min(best, _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot().Rot().Rot())));
                        return best;

                    case 101:
                        // Two options need to be considered;
                        return _Min(_Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot())), _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot().Rot().Rot())));

                    case 1010:
                        // Two options need to be considered;
                        return _Min(_Translate(tiles), _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot().Rot())));

                    case 1000:
                    case 1100:
                    case 1110:
                    case 2001:
                    case 2010:
                    case 2011:
                    case 2100:
                    case 2101:
                    case 2110:
                    case 2120:
                    case 2201:
                    case 2210:
                    case 3012:
                    case 3021:
                    case 3102:
                    case 3120:
                    case 3201:
                    case 3210:
                        // Already in the canonical rotation.
                        return _Translate(tiles);

                    case    1:
                    case 1001:
                    case 1101:
                    case   12:
                    case  102:
                    case  112:
                    case 1002:
                    case 1012:
                    case 1102:
                    case 1202:
                    case 2012:
                    case 2102:
                    case  123:
                    case  213:
                    case 1023:
                    case 1203:
                    case 2013:
                    case 2103:
                        // Needs one rotation.
                        return _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot()));

                    case   10:
                    case   11:
                    case 1011:
                    case  120:
                    case 1020:
                    case 1120:
                    case   21:
                    case  121:
                    case 1021:
                    case 2021:
                    case  122:
                    case 1022:
                    case 1230:
                    case 2130:
                    case  231:
                    case 2031:
                    case  132:
                    case 1032:
                        // Needs two rotations.
                        return _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot().Rot()));

                    case  100:
                    case  110:
                    case  111:
                    case 1200:
                    case  201:
                    case 1201:
                    case  210:
                    case 1210:
                    case  211:
                    case  212:
                    case 1220:
                    case  221:
                    case 2301:
                    case 1302:
                    case 2310:
                    case  312:
                    case 1320:
                    case  321:
                        // Needs three rotations.
                        return _Translate(tiles.Select(tile => tile.Rot().Rot().Rot()));

                    default:
                        throw new NotSupportedException("Case analysis failed");
                }
            }

            private IReadOnlyList<Tile> _Translate(IEnumerable<Tile> tiles)
            {
                int minX = tiles.Min(tile => tile.X);
                int minY = tiles.Min(tile => tile.Y);
                return tiles.
                    Select(tile => new Tile { Shape = tile.Shape, X = (sbyte)(tile.X - minX), Y = (sbyte)(tile.Y - minY) }).
                    OrderBy(tile => tile).
                    ToList();
            }

            #if SUPERLIGHT

            private readonly short[] _Items;

            public int Count => _Items.Length;

            public IEnumerator<Tile> GetEnumerator()
            {
                foreach (var encoded in _Items)
                {
                    yield return new Tile { X = (sbyte)((encoded >> 9) & 0x3f), Y = (sbyte)((encoded >> 3) & 0x3f), Shape = (TileShape)(encoded & 0x7) };
                }
            }

            #else

            private readonly ISet<Tile> _Items;

            public int Count => _Items.Count;

            public IEnumerator<Tile> GetEnumerator() => _Items.GetEnumerator();

            public bool Contains(Tile tile) => _Items.Contains(tile);

            #endif

            IEnumerator IEnumerable.GetEnumerator() => GetEnumerator();

            private readonly int _HashCode;
            public override int GetHashCode() => _HashCode;

            public bool Equals(TileSet tileset) => tileset != null && tileset.Count == Count && tileset._HashCode == _HashCode && _Items.SequenceEqual(tileset._Items);

            public override bool Equals(object obj) => obj is TileSet tileset && Equals(tileset);
        }
    }

    static class Extensions
    {
        internal static int IndexOf<T>(this IEnumerable<T> elts, T elt)
            where T : IEquatable<T>
        {
            int idx = 0;
            foreach (var item in elts)
            {
                if (item.Equals(elt)) return idx;
                idx++;
            }
            return -1;
        }
    }
}