2D-Abtastung mit mehrdimensionalen Transformationen

Derzeit lerne ich mathematische Verteilungskonzepte und deren Verwendung in einem Raytracer mit dem Buch "Physically Based Rendering".

Beginnen wir mit einer einheitlichen Abtastung einer Hemisphäre:

Wie Sie wahrscheinlich wissen, besteht eine Möglichkeit, die gleichmäßig verteilte Richtung zu erzeugen, darin, die Inversionsmethode zu verwenden.

Bezeichnen wir mit $p$ unsere einheitliche Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion:

$p(\omega) = \cfrac{1}{2\pi}$ und so $p(\theta, \phi) = \sin(\theta)p(\omega)$.

Dann rechnen Sie $p(\theta)$, $p(\phi | \theta)$Sie integrieren Ihre kumulative Verteilungsfunktion und invertieren die Funktion.

Meine Fragen sind:

• Was macht $p(\theta, \phi)$ wirklich gemein?

• Was ist die Transformation zwischen $p(\omega)$ und $p(\theta, \phi)$?

• In dem Buch zu finden $p(\theta,\phi)$ sie geben das an $p(\theta, \phi) d\theta d\phi = p(\omega)d\omega$, aber warum?

Ich weiß das für $p(\omega)$ist unsere Zufallsvariable gegeben $\omega$ (eine Richtung), also stellt die Funktion eine relative Wahrscheinlichkeit für diese Richtung dar (also einen Raumwinkel, da der relative Term eine Richtung und einen Delta-Bereich um diese Richtung impliziert).

Aber für $p(\theta,\phi)$Unsere Zufallsvariable ist jetzt das Paar $(\theta,\phi)$. Inwieweit unterscheidet es sich von einer Richtung?

Ich bin nicht sicher, ob ich die Frage richtig verstanden habe, aber hier geht es weiter.

Sie versuchen, Anweisungen gleichmäßig abzutasten, also haben Sie $p(\omega)$Dies ist die Wahrscheinlichkeit, eine bestimmte Richtung zu erhalten. Aber was ist eine Richtung? Sie benötigen tatsächlich Ihre Wahrscheinlichkeitsverteilung, um Zahlen in einer Darstellung zu erzeugen, und die am einfachsten zu behandelnde Darstellung ist lat-long (dh zwei Winkel). Das, woraus Sie tatsächlich abtasten müssen, ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung von Winkelpaaren. Das ist was$p(\theta, \phi)$ ist: die gemeinsame Wahrscheinlichkeit zweier Variablen.

$p(\omega)$ und $p(\theta, \phi)$bedeuten dasselbe geometrisch, aber das erstere gibt Ihnen eine abstrakte Richtung, aus der Sie nicht direkt abtasten können, während das letztere sinnvoller zwei Zahlen gibt, die eine Richtung darstellen.

Der Grund für Ihren dritten Aufzählungspunkt liegt in dem Punkt, den Sie darüber gemacht haben, dass es sich nicht nur um eine einzelne Richtung handelt. Dies sind keine wirklichen Funktionen: Sie sind Distributionen . Eine Richtung ist infinitesimal, sodass Sie nicht nur eine Richtung haben können. Was Sie tatsächlich tun müssen, ist es über die Richtungen zu integrieren, an denen Sie interessiert sind.

Unabhängig davon, welche Darstellung Sie verwenden, muss das Integral über der Hemisphäre 1 sein, da es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung handelt.

Ich bin mir nicht sicher, ob ich das erklären muss oder ob Sie es bereits verstanden haben, aber hier ist der Ursprung des $sin(\theta)$. Wenn Sie das Doppelintegral rechts ausführen, teilen Sie das Problem in eine Reihe von Ringen oder Scheiben der Einheitskugel auf. Jeder Ring hat eine Konstante$\theta$ während $\phi$ geht von $0$ zu $2\pi$. Auch die Fläche jedes einzelnen Rings nimmt mit ab$\theta$erhöht sich: Der Ring am Äquator ist riesig, während der letzte "Ring" am Pol winzig ist. Die Fläche nimmt ab als$sin(\theta)$. Da wir möchten, dass jede Flächeneinheit der Kugel die gleiche Wahrscheinlichkeit hat, benötigen wir die kleineren Ringe, um einen kleineren Anteil der Wahrscheinlichkeit zu erhalten.

Wie Florian R. erklärt, können Sie dies tun, indem Sie die $sin(\theta)$ Faktor in das Integral, oder Sie können es in die Definition von setzen $p(\theta, \phi)$ wie das Buch.