Angenommen , ich habe einen Graphen mit M ( G ) der (unbekannt) Reihe von perfekt passenden G . Angenommen, diese Menge ist nicht leer. Wie schwierig ist es dann, aus M ( G ) eine gleichmäßige Zufallsauswahl zu treffen ? Was ist, wenn ich mit einer Verteilung einverstanden bin, die nahezu einheitlich, aber nicht ganz einheitlich ist? Gibt es dann einen effizienten Algorithmus?
algorithms
complexity-theory
matching
sampling
Artem Kaznatcheev
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Antworten:
Es gibt eine klassische Arbeit von Jerrum und Sinclair (1989) über die Auswahl perfekter Übereinstimmungen aus dichten Graphen. Ein weiteres klassisches Papier von Jerrum, Sinclair und Vigoda (2004; pdf) befasst sich mit der Auswahl perfekter Übereinstimmungen aus zweiteiligen Graphen.
In beiden Papieren werden Markov-Ketten schnell gemischt, sodass die Proben nur annähernd gleichförmig sind. Ich stelle mir vor, dass eine einheitliche Probenahme schwierig ist.
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Wenn Sie davon ausgehen, dass Ihr Diagramm planar ist, gibt es ein polynomielles Zeitverfahren für dieses Stichprobenproblem.
Erstens ist das Problem des Zählens der Anzahl perfekter Übereinstimmungen in P für planare Graphen. ( https://en.wikipedia.org/wiki/FKT_algorithm ) (Eine gute Darstellung dieser Tatsache findet sich im ersten Kapitel von Jerrums Buch über Zählen, Abtasten und Integrieren.)
Zähle als nächstes für jede Kantee von G die Anzahl der perfekten Übereinstimmungen von G ∖ e . Dies lässt sich in die Wahrscheinlichkeit umwandeln, dass eine einheitliche perfekte Übereinstimmung e - nur durch die Anzahl der perfekten Übereinstimmungen in G dividieren enthält . Abtasten Sie eine Kante entsprechend dieser Wahrscheinlichkeit und fahren Sie induktiv fort.
(Dies macht sich die Tatsache zunutze, dass Matchings eine "selbstreduzierbare" Struktur sind, sodass Zählprobleme und einheitliche Stichprobenprobleme im Wesentlichen gleich sind. Weitere Informationen hierzu finden Sie in JVV "Zufällige Erzeugung kombinatorischer Strukturen aus einer einheitlichen Verteilung" Perspektive.)
Ein einfacher Beweis, dass dies die richtige Verteilung ergibt:
Lassenc ( H) zeigt die Anzahl der bestellten perfekt passende in einem Graphen H , als geordnete Sequenzen. (Das ist n ! Mal die Anzahl ungeordneter perfekter Übereinstimmungen, n = H/ 2 )
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