Quantencomputer und Turingmaschinen: Sind Turingmaschinen immer noch eine genaue Maßnahme?

In der Vorlesung letzte Woche sagte mein Professor, dass Turing-Maschinen als Standardmaßstab / -modell für das, was berechenbar ist, verwendet werden und eine hilfreiche Diskussionsgrundlage für dieses Thema darstellen. Sie sagte auch, dass sich alle Varianten von Turing-Maschinen als rechnerisch äquivalent erwiesen hätten - gelesen, genauso leistungsfähig - wie die anderen. W

Ich habe gestern kommentiert und gesagt, dass ich in Bezug auf die Rechenleistung bemerkt habe, dass einige Turing-Maschinen unglaublich viel Zeit benötigen, um etwas sehr Einfaches zu berechnen, während eine Turing-Maschine mit mehr Bändern etwas mit einer geringeren asymptotischen Komplexität in Bezug auf die Anzahl berechnen kann von Schritten benötigt.

Sie sagte, dass in Bezug auf den Klassendiskurs die Laufzeit eines bestimmten Algorithmus auf einer Turing-Maschine weder die Definition der Berechenbarkeit noch die Leistung, mit der wir die Berechenbarkeit messen, verändert. "Wir sind besorgt darüber, was berechenbar ist, und nicht darüber, was zu diesem Zeitpunkt effizient berechenbar ist." Es spielt also keine Rolle, ob die Turing-Maschinen mehr und mehr Bänder haben, und mehr und mehr Bänder implizieren, dass sie in geringeren Schritten berechnet werden können. Okay, ich verstehe, dass wir uns wirklich auf das konzentrieren, was berechenbar ist, nicht auf die Geschwindigkeit, mit der wir es berechnen können.

Etwas daran stört mich nur, weil Algorithmen mit ungewöhnlich großer asymptotischer zeitlicher und räumlicher Komplexität bis zu diesem Punkt wirklich die Grenzen dessen definieren, was, vielleicht sollte ich sagen, praktisch berechenbar ist.

Ich habe also ein paar Fragen:

1. Angenommen, wir haben ein Modell für eine Quanten-Turing-Maschine , das muss einer "normalen" Turing-Maschine entsprechen, oder?

Die Antwort auf diese Frage, denke ich, geht also in meine Richtung, diesen Beitrag zu schreiben. Veraltet die Quantencomputertechnologie die klassischen Definitionen dessen, was über eine Turingmaschine berechenbar ist?

2. Ist das etwas über meinem Kopf und soll ich diesen Beitrag löschen? Ich will nicht frühreif sein, ich habe nur keine Frage ähnlich meiner gesehen.

Sie mischen die Berechenbarkeitstheorie (auch als Rekursionstheorie bezeichnet ) und die Komplexitätstheorie (oder die rechnerische Komplexität ). Die Rechenfähigkeitstheorie ist ein umfangreiches mathematisches Fach, das die Konsequenzen des Rechenkonzepts untersucht . Es geht nicht um die Komplexität der Berechnung. Wie Ihr Professor erwähnt, sind alle (Turing-vollständigen) Berechnungsmodelle vom Standpunkt der Berechenbarkeitstheorie gleich. Die Berechenbarkeitstheorie ist zwar ein interessantes mathematisches Fach, aber aus diesem Grund, wie Sie bereits erwähnt haben, kein gutes Modell für die Berechnung in der realen Welt.

Die Komplexitätstheorie begann ihr Leben als ein Versuch, dieses Problem anzugehen. Die Komplexitätstheorie untersucht, wie schwierig es ist, bestimmte Prädikate und Funktionen zeitlich und räumlich zu berechnen. Aus Sicht der Komplexitätstheorie sind nicht alle Berechnungsmodelle gleich, und Turing-Maschinen werden als Referenzmodell verwendet. Selbst die Komplexitätstheorie ist jedoch nicht sehr realistisch, da sie alle zu Turingmaschinen polynomisch äquivalenten Rechenmodelle gleich behandelt (zwei Modelle sind polynomisch äquivalent, wenn ein Problem in Zeit und Raum in einem Modell lösbar ist kann in der Zeit und Raum in der anderen gelöst werden , wobei die Eingangsgröße ist undS ( n ) T ( n ) c S ( n ) c n c O ( 1 ) O ( n log n ) Ω ( n 2$T(n)$$S(n)$$T(n)^c$$S(n)^c$$n$$c$ ist eine positive Konstante). Beispielsweise sind Turing-Maschinen keine guten Modelle für echte Computer, da sie keinen wahlfreien Zugriff (Zugriff auf einen beliebigen Speicherpunkt zum Zeitpunkt ) unterstützen. Natürlich kann ein wahlfreier Zugriff von einer Turing-Maschine simuliert werden, aber die Simulation kann langsam sein. Es wird oft gesagt, dass die Sortierung in der Zeit , aber dies ist nicht der Fall für Turing-Maschinen, die wahrscheinlich erfordern oder sich sogar zum Sortieren ganzer Zahlen bewegen. Daher ersetzen im Bereich der Algorithmen andere Modelle wie die RAM-Maschine die Turing-Maschinen.$O(1)$$O(n\log n)$$\Omega(n^2)$

Schließlich können Quantencomputer auf verschiedene Arten modelliert werden, beispielsweise mit der Quantenturing-Maschine. Alles, was mit Quantencomputern berechenbar ist, ist auch mit klassischen Computern berechenbar. Aus Sicht der Berechenbarkeitstheorie sind Quanten-Turing-Maschinen daher nur ein weiteres gleichwertiges Modell. Es wird jedoch allgemein vermutet, dass Quantenturingmaschinen nicht polynomiell mit klassischen Turingmaschinen äquivalent sind: Factoring und diskreter Logarithmus sind beispielsweise für Quantenturingmaschinen "einfach" (in polynomieller Zeit lösbar), während angenommen wird, dass sie "schwer" sind. für klassische Turing-Maschinen (kann nicht in Polynomialzeit gelöst werden; obwohl einige Leute denken, dass Integer-Factoring in Polynomialzeit lösbar sein könnte). Also aus der Sicht der Komplexitätstheorie, unterscheidet sich von klassischen Turingmaschinen.