Wenn warum ist dann die Multiplikation schwieriger als die Addition?

Jemand sagte mir, dass die Funktion eingeführt wurde, um die Berechnung zu vereinfachen. Wenn wir berechnen müssen , können wir stattdessen berechnen , da . Wie kann dies die Berechnung erleichtern? Vielleicht aus mathematischer Sicht, aber was ist mit der Sicht eines Informatikers?$\log$$xy$$\log x+\log y$$\log xy=\log x+\log y$

Wenn es die Berechnung erleichtert, warum verwenden die Leute es dann nicht, um die Komplexität der Multiplikationsalgorithmen zu vereinfachen?

Aus meiner eigenen Sicht erschwert diese Transformation die Berechnung. Wie können wir die Funktionen und in einem Computer berechnen ?$\log x$$\exp x$

Habe ich recht? Irgendwelche Vorschläge bitte? Vielen Dank für Ihre Zeit.

Wenn warum ist dann die Multiplikation schwieriger als die Addition?$\log xy = \log x + \log y$

Das ist kein fairer Vergleich: Sie vergleichen nicht Gleiches mit Gleichem. Wenn Sie es stattdessen als "Wenn formulieren, warum ist dann die Multiplikation schwieriger als die Addition? " dann ist die Antwort offensichtlich. Die auf diese Weise durchgeführte Multiplikation ist schwieriger als die Addition, da die Addition nur die Addition umfasst, während die Multiplikation die Addition, die zweimalige Protokollierung und die Potenzierung umfasst.$xy = \exp(\log x + \log y)$

Wie können wir die Funktionen und in einem Computer berechnen ?$\log x$$\exp x$

Die Hauptmethoden bestehen darin, entweder eine Taylor-Reihe oder eine Tabellensuche und -interpolation zu verwenden. Taylor-Reihen drücken Funktionen als Summen aus, z. B.. Addieren Sie so viele Begriffe, wie Sie benötigen, um die gewünschte Genauigkeit zu erzielen. Beachten Sie, dass dies viele Additionen und viele Multiplikationen umfasst. Das Nachschlagen und Interpolieren von Tabellen entspricht im Wesentlichen der Funktionsweise von Papierprotokolltabellen. Um beispielsweise zu berechnen, würden Sie und nachschlagen und als drei Zehntel des Weges zwischen ihnen schätzen. (In Wirklichkeit hätte die Tabelle mehr Dezimalstellen.) Dies beinhaltet einige Additionen und Multiplikationen und viel Speicher.$\exp x = \sum_{i=0}^{\infty} x^i/i!$$\log 4.3$$\log 4$$\log 5$$\log 4.3$

Logarithmen wurden verwendet, um die Berechnung zu einer Zeit zu vereinfachen, als keine Computer verfügbar waren. Selbst im zwanzigsten Jahrhundert, als mechanische Maschinen zur Verfügung standen, um mit großer Präzision zu rechnen, blieben sie so teuer und oft umständlich, dass die meisten Menschen sie nicht benutzten. Der mechanische Handrechner für die vier Rechenoperationen erschien nicht vor dem Ende des Zweiten Weltkriegs (diese Maschine namens Curta wurde tatsächlich in einem Konzentrationslager entworfen, das einige Leben rettete). Da die meisten Berechnungen nicht zu genau waren, verwendeten viele Leute einfach Rechenschieber oder Logarithmentabellen. Der typische Cartoon eines Wissenschaftlers oder Ingenieurs würde ihn mit dem Rechenschieber in der Vordertasche zeigen.

Ich bin alt genug, dass ich in der Schule keine Handrechner hatte (Computer beanspruchten immer noch mehr Platz als mein Klassenzimmer). Was ich hatte, war ein Rechenschieber, der auf Logarithmen basiert. Es gab keine sehr hohe Präzision (bestenfalls , dh 3 Dezimalstellen), aber es war von unschätzbarem Wert, Probleme in der Physik zu lösen. Zahlen wurden direkt auf dem Rechenschieber gelesen, der im Wesentlichen Längen hinzufügen kann.$10^3$

Für mehr Präzision würden wir Tabellen verwenden, die in Büchern gespeichert sind. Das ergab 4 Ziffern plus eine mit Interpolation (wie ich mich erinnere). Wir haben auch eine direkte Tabelle für Logarithmen trigonometrischer Funktionen.

Dies war gut organisiert, und die Kosten für die Berechnung von Protokollen und Exponentialen mit den Tabellen waren nichts im Vergleich zu den Einsparungen, wenn keine Multiplikationen von Hand durchgeführt wurden. Es war tatsächlich kostenlos, mit direktem Lesen der Graduierungen, auf dem Rechenschieber.

Dies war kein mathematischer Standpunkt, sondern ein physikalischer Standpunkt oder der einer Person, die viel mit Multiplikationen rechnen musste, wie Astronomen oder Menschen, die das Land kartierten (was wahrscheinlich mehrere Jahrhunderte dauerte).

Ich habe es nicht überprüft, aber ich würde vermuten, dass das numerische algorithmische Design zu dieser Zeit stark von der Idee beeinflusst worden sein muss, die Übersetzung von und zu Logarithmen zu minimieren. Ich würde vermuten, dass uns im Unterricht gesagt wurde, dass wir vorsichtig sein sollen.

Beträchtliche Anstrengungen wurden auch unternommen, um sehr genaue Tabellen zu erstellen. Natürlich von Hand, zumindest bis mechanische Rechenmaschinen verfügbar wurden. Laut Wikipedia begann die Taschenrechnerindustrie trotz einer großen Anzahl früherer Prototypen erst Mitte des 19. Jahrhunderts.

Dies alles begann mit der Erfindung des Logarithmus durch John Napier zu Beginn des 17. Jahrhunderts. Sein Kontakt mit dem Astronomen Tycho Brahe, der zu dieser Zeit die Bewegung von Himmelskörpern sehr genau abbildete (damit Kepler und Newton die Daten für die Arbeit hatten, die sie berühmt machte), und einer anderen solchen Person war ihm möglicherweise nicht fremd Erfindung dieses bemerkenswertesten Rechenwerkzeugs.

Die Tatsache, dass Logarithmen die Multiplikation erleichtern können, war sicherlich ein sehr wichtiger Faktor für die Entwicklung von Wissenschaft und Technologie für fast drei Jahrhunderte. Aber da ich nicht genau weiß, wer es wann verwendet hat, kann ich keine genauere Aussage machen.