Schaltungsgröße für "mindestens n Eingänge sind wahr"

Angenommen, Sie haben boolesche Eingaben und erhalten einen Schwellenwert . Sie müssen eine boolesche Schaltung erstellen, die als wahr ausgewertet wird, wenn mindestens der Eingänge wahr sind. Sie können AND-, OR-, NOT- oder XOR-Gatter verwenden (beschränkt auf Fan-In 2 mit willkürlichem Fan-Out). Asymptotisch wie klein können Sie diese Schaltung machen?$m$$n$$n$

Jede einigermaßen enge Obergrenze wäre willkommen. Ich denke immer wieder darüber nach, wie ich eine solche Schaltung rekursiv konstruieren kann, aber ich kann nichts Gutes finden. Auch Ergebnisse für eine andere vernünftige Basis zulässiger Tore wären nützlich.

Von S. Chaudhuri, J. Radhakrishnan. Deterministische Einschränkungen der Schaltungskomplexität :

Satz 6.1 : Eine Schaltung, die mit berechnet, hat Gatter k ≤ n 1 / 3 Ω ( k 2 ( ln n ) / ln k $T_k^n$$k \leq n^{1/3}$$\Omega(k^2(\ln n)/\ln k)$

Wobei die Boolesche Funktion ist, die den Wert 1 hat, wenn mindestens ihrer Eingänge den Wert 1 haben ( Schwellenwertfunktion ).$T_k^n$$k$

Wir können aus einigen Komplexitätseinschlüssen eine Art Obergrenze ziehen.

M A J O R I T Y 1 T C 0 M A $TC^{0}$ ist die Klasse von booleschen Schaltkreisen mit polynomialer Größe und konstanter Tiefe, bei denen wir auch ein Gatter mit unbegrenztem Fan-In haben. Es gibt also einen -Schaltkreis der Größe , der die gewünschte Funktion berechnet (ein Gatter) mit allen Eingängen).$MAJORITY$$1$ $TC^{0}$$MAJ$

O ( log n ) T C 0 ⊆ N C 1 M A J O ( log n $NC^{1}$ ist die Klasse der Booleschen Schaltungen mit Polynomgröße und -Tiefe (aber hier haben wir nur die normalen Gatter). Es ist bekannt, dass , so dass Sie im schlimmsten Fall mit einer Schaltung mit berechnen können .$O(\log n)$$TC^{0} \subseteq NC^{1}$$MAJ$$O(\log n)$

Ich vermute, da Sie nur brauchen , können wir es besser machen, aber ich habe es noch nicht geschafft, eine gute Referenz dafür zu finden. Vollmers "Einführung in die Schaltungskomplexität" sollte reduziert werden, aber ich habe keine Kopie zur Verfügung. Es sollte auch eine gleichmäßige Reduzierung sein (dh für einen Eingang der Größe wir die geeignete Schaltung effizient erzeugen).$MAJ$$n$

Diese Frage zu cstheory.SE enthält möglicherweise auch etwas Nützliches, ist aber ziemlich technisch.

Mit einer Standard-Schwellenwertfunktion, die wie in der Antwort von Vors definiert ist, ist eine symmetrische Funktion. thm 2.11.1 in Savage [1] ergibt eine Schaltung der Größe . T n k O ( n $T_k^n$$T_k^n$$O(n)$

[1] Rechenmodelle , John E Savage