Maximieren einer konvexen Funktion mit einer linearen Einschränkung

maximize f (x) subject to A x = b

$\text{maximize } f(\mathbf{x}) \quad\text{subject to } \mathbf{Ax} = \mathbf{b}$

f (x) = \sum_{i = 1}^{N} \sqrt{1 + \frac{x_{i}^{4}}{{(\sum_{i = 1}^{N} x_{i}^{2})}^{2}}},

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N\sqrt{1+\frac{x_i^4}{\left(\sum_{i=1}^{N}x_i^2\right)^2}},$

und . $\mathbf{x} = [x_1,x_2,...,x_N]^T \in \mathbb{R}^{N\times 1}$ $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{M\times N}$

Wir können sehen, dass konvex ist und die Form $f$ . Es kann auch gezeigt werden, dassin $\sqrt{1+y^2}$ $f$ . Ich weiß, dass ein konvexes Maximierungsproblem im Allgemeinen NP-schwer ist. $[\sqrt{2}, 2]$

Ist es jedoch möglich, das Problem mit der spezifischen konvexen Optimierungssoftware / dem konvexen Optimierungspaket zu lösen?

optimization Sooraj
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Es gibt zwei Summierungen ineinander, die dieselbe "Schleifenvariable"

. Aus dem Kontext scheint klar zu sein, welche Verwendungen von

welche sind, aber bitte korrigieren Sie dies aus Gründen der Klarheit.

i

$i$

i

$i$

j_random_hacker

Antworten:

Ja, die konvexe Optimierung mit Gleichheitsbeschränkung ist im Allgemeinen NP-schwer. Es gibt jedoch ausgereifte Techniken, die sehr gute ungefähre Lösungen für konvexe Optimierungsprobleme finden, wie z. B. Koordinatenabstieg.

$k$ $x = (x_1, x_2, x_3, ..., x_n)$ $x_i$ $f(\cdot)$ $x_i$

Dann fixieren wir iterativ die nk-1-Koordinate und verbessern die Lösung, bis eine annähernd optimale gefunden ist.

Strin
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@RodrigodeAzevedo: Es ist kein Widerspruch oder überraschend, dass LP, ein Sonderfall der konvexen Optimierung, einfacher ist als der allgemeine Fall.

j_random_hacker