Kann eine berechenbare Funktion zu einer nicht berechenbaren Zahl konvergieren?

Existiert eine berechenbare Funktion so dass:$f:\mathbb{N}\rightarrow \mathbb{Q}$

• Für alle $t\in\mathbb{N}: 0\le f(t) < X$
• $\lim\limits_{t\rightarrow\infty} f(t) = X$

Wobei eine nicht berechenbare reelle Zahl ist.$X$

Der einzige Hinweis auf diese Frage, den ich gefunden habe, war die Antwort auf diese Frage : /math//a/1052579/168764 , wo die Funktion zu gelten scheint, aber ich habe keine Ahnung, wie ich das beweisen soll Das Limit dieser Funktion ist eine nicht berechenbare reelle Zahl.

Betrachten Sie die reelle des (fast) Halteproblems, dh wobei wenn die i-te Turing-Maschine (in Bezug auf die lexikografische Reihenfolge) an der leeren Eingabe anhält, und ansonsten. Lassen Sie uns diese Zahl durch bezeichnen .$0.r_1r_2...$$r_i=1$$r_i=0$$R$

Betrachten Sie nun die Maschine die bei Eingabe alle Turingmaschinen der Länge bei der leeren Eingabe für Schritte simuliert und zurückgibt Dabei ist wenn die -te Turing-Maschine in weniger als Schritten an der Leereingabe anhält , und wenn dies nicht der . Für alle gilt eindeutig , und es ist nicht schwer zu zeigen, dass gegen konvergiert . Der entscheidende Punkt ist, dass die Konvergenzrate nicht berechenbar ist, was bedeutet, dass$M$$n$$< n$$n$$0.\hat{r_1}...\hat{r_{2^n-1}}$$\hat{r_i}=1$$i$$n$$\hat{r_i}=0$$n$$M(n)< R$$\{M(n)\}_{n\in\mathbb{N}}$$R$$\epsilon$können Sie den Index nicht so berechnen, dass die Reihe darüber hinaus -close to .$\epsilon$$R$