Unabhängiger Satz für kubische dreieckfreie Diagramme

Ich weiß, dass die maximale unabhängige Menge in kubischen dreieckfreien Graphen NP-vollständig ist.

Ist es immer noch NP-vollständig, falls die unabhängige Menge genau die Größe haben muss ? V | / 2 ?$|V|/2$

Grundsätzlich muss die YES-Instanz des Problems der unabhängigen Menge bei kubischen dreieckfreien Graphen genau Knoten. KEINE Instanz hat einen unabhängigen Satz von Größen kleiner als | V | / 2 .$|V|/2$$|V|/2$

Beginnen wir mit dem Beweis, dass die maximale unabhängige Menge höchstens Größe hat V | / 2 . Lass mich eine unabhängige Gruppe sein. Für jede Ecke v , lassen α ( v ) die Anzahl seiner Nachbarn in sein Ich . Wenn α ( v ) ≥ 1 , dann wissen wir , dass v ∉ I . Da der Graph kubisch ist, ist ∑ v α ( v ) = 3 | Ich | . Da α ( v ) $|V|/2$$I$$v$$\alpha(v)$$I$$\alpha(v) \geq 1$$v \notin I$$\sum_v \alpha(v) = 3|I|$ , die Anzahl der Eckpunkte, so dass α ( v ) ≥ 1 ist, mindestens$\alpha(v) \leq 3$$\alpha(v) \geq 1$. Daher | Ich | ≤ | V | / 2 .$|I|$$|I| \leq |V|/2$

Wann können wir Gleichheit haben? Wir müssen , also müssen für jeden Scheitelpunkt, der nicht in I ist , alle seine Nachbarn in I sein . Das Gegenteil ist auch wahr - für jeden Vertex in I , alle seine Nachbarn sind nicht in I . Mit anderen Worten, der Graph muss zweiteilig sein. Dies kann in Polynomzeit überprüft werden.$\alpha(v) \in \{0,3\}$$I$$I$$I$$I$