3-Clique-Partition für Diagramme mit festem Durchmesser

Das 3-Clique-Partitionsproblem ist das Problem der Bestimmung, ob die Eckpunkte eines Graphen, beispielsweise , in 3 Cliquen aufgeteilt werden können. Dieses Problem ist NP-hart durch eine einfache Reduzierung des 3-Färbbarkeitsproblems. Es ist nicht schwer zu erkennen, dass die Antwort auf dieses Problem einfach ist, wenn diam ( G ) = 1 oder diam ( G ) > 5 ist . Das Problem bleibt NP-hart, wenn diam ( G ) = 2 durch eine einfache Reduktion von sich selbst (wenn ein Graph G gegeben ist , füge einen Scheitelpunkt hinzu und verbinde ihn mit allen anderen Scheitelpunkten).$G$$\textrm{diam}(G) = 1$$\textrm{diam}(G) > 5$$\textrm{diam}(G) = 2$$G$

Was ist die Komplexität dieses Problems für Graphen mit für 3 ≤ p ≤ 5 ?$\textrm{diam}(G) = p$$3\le p \le 5$

Das Problem scheint in .$P$

Nehmen Sie zwei Eckpunkte , v mit einem Abstand von genau 3 (ein solches Paar muss existieren, wenn p ≥ 3 ist ). Sie müssen unterschiedliche Farben haben (ich werde R, G, B verwenden, um 3 Farben zu bezeichnen, und die Eckpunkte in derselben Clique sind in derselben Farbe gefärbt). Wlog nimmt an, dass u rot und v grün gefärbt ist.$u$$v$$p\ge 3$$u$$v$

$\Gamma(u)$$u$$\Gamma(v)$$V-\Gamma(u)-\Gamma(v)$$u$$v$$u$$v$$v$muss entweder grün oder blau gefärbt sein. Jeder Scheitelpunkt hat jetzt höchstens zwei Möglichkeiten, daher wird das Problem zu einer 2-SAT-Instanz, die wir in Polynomzeit lösen können.