Trennt ein Paar disjunkter homotopischer Zyklen im Dual den Graphen?

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Sei ein Graph, der auf einer orientierbaren kompakten Oberfläche der Gattung g eingebettet ist, so dass die Einbettung zellulär ist. Betrachten Sie das Dual des Graphen G . Lassen C 1 und C 2 disjunkte Zyklen in seinem G * , die miteinander homotope sind und lassen E 1 und E 2 die entsprechenden Kantenmengen in seine G verbunden. Ist G ( E 1E 2 ) ein nicht verbundener Graph?GgGC1C2GE1E2GG(E1E2)

Kaveh
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Antworten:

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Ja. Lassen Sie mich für die Oberfläche schreiben, auf der G und G eingebettet sind.ΣGG

Da die Zyklen und C 2 homotop sind, gehören sie auch zur gleichen Z 2 -Homologieklasse. Per Definition ist die symmetrische Differenz C 1C 2 die Grenze der Vereinigung einer Teilmenge von Flächen von G ; nennen diese Vereinigung von Gesichtern U . (Tatsächlich muss entweder U oder sein Komplement Σ Σ U ein Ring sein, aber das ist nicht wichtig.)C1C2Z2C1C2GUUΣU

C1C2C1C2C1C2C1C2UΣUΣ(C1C2)

GΣGG(E1E2)Σ(C1C2)G(E1E2)

Σ

Jeffε
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Jeff, können Sie mich auf eine Referenz verweisen, die dieses Ergebnis enthält?
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Entschuldige Nein. Aber die Beobachtung, dass zwei einfache disjunkte homotope nicht kontrahierbare Zyklen einen Ring gebunden haben (der Sie den größten Teil des Weges dorthin bringt), erscheint in David BA Epstein. Kurven auf 2-Mannigfaltigkeiten und Isotopien. Acta Mathematica 115: 83–107, 1966.
Jeffs