Trennt ein Paar disjunkter homotopischer Zyklen im Dual den Graphen?

Sei ein Graph, der auf einer orientierbaren kompakten Oberfläche der Gattung g eingebettet ist, so dass die Einbettung zellulär ist. Betrachten Sie das Dual des Graphen G ∗ . Lassen C 1 und C 2 disjunkte Zyklen in seinem G * , die miteinander homotope sind und lassen E 1 und E 2 die entsprechenden Kantenmengen in seine G verbunden. Ist G ∖ ( E 1 ∪ E 2 ) ein nicht verbundener Graph?$G$$g$$G^*$$C_1$$C_2$$G^*$$E_1$$E_2$$G$$G \setminus (E_1 \cup E_2)$

Ja. Lassen Sie mich für die Oberfläche schreiben, auf der G und G ∗ eingebettet sind.$\Sigma$$G$$G^*$

Da die Zyklen und C 2 homotop sind, gehören sie auch zur gleichen Z 2 -Homologieklasse. Per Definition ist die symmetrische Differenz C 1 ⊕ C 2 die Grenze der Vereinigung einer Teilmenge von Flächen von G ∗ ; nennen diese Vereinigung von Gesichtern U . (Tatsächlich muss entweder U oder sein Komplement Σ Σ U ein Ring sein, aber das ist nicht wichtig.)$C_1$$C_2$$\mathbb{Z}_2$$C_1\oplus C_2$$G^*$$U$$U$$\Sigma\setminus U$

$C_1$$C_2$$C_1\oplus C_2$$C_1\cup C_2$$C_1\oplus C_2\ne \varnothing$$U$$\Sigma\setminus U$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$

$G$$\Sigma$$G^*$$G\setminus (E_1\cup E_2)$$\Sigma \setminus (C_1\cup C_2)$$G\setminus (E_1\cup E_2)$

$\Sigma$