Was ist der Rechenaufwand für die Optimierung verschiedener Funktionen über die Einheitsgruppe ?
Eine typische Aufgabe, entstehen oft in der Theorie der Quanteninformation, würde eine Menge an Typ sein Maximierung (oder Polynome höherer Ordnung in ) über alle unitäre Matrizen . Ist diese Art der Optimierung effizient (vielleicht ungefähr) berechenbar oder ist sie NP-schwer? (Vielleicht ist das bekannt, aber ich konnte keine allgemeinen Referenzen finden.)
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Marcin Kotowski
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Antworten:
Entschuldigung, ich bin zu spät! In der Quantencomputertheorie gibt es viele Beispiele für Optimierungsprobleme über die einheitliche Gruppe, die überraschenderweise (zumindest für mich) in (klassischer) Polynomzeit durch Reduktion auf semidefinite Programmierung lösbar sind.
Hier ein frühes Beispiel: Die Lösung eines meiner Probleme aus dem Jahr 2000, im Jahr 2003 , zeigte Barnum, Saks und Szegedy , dass Q (f) die Komplexität der Quantenabfrage einer Booleschen Funktion f: {0,1} n → {0,1 ist }, kann als Zeitpolynom in 2 n berechnet werden (dh die Größe der Wahrheitstabelle von f). Ich hatte darüber nachgedacht, konnte aber nicht sehen, wie es geht, da man die Erfolgswahrscheinlichkeit über alle möglichen Quantenabfragealgorithmen optimieren muss, von denen jeder seinen eigenen Satz von (möglicherweise 2 n- großen) Einheitsmatrizen hat. Barnum et al. reduziert auf SDP durch Ausnutzung einer "Dualität" zwischen Einheitsmatrizen und positiven semidefiniten Matrizen, dem sogenannten Choi-Jamiolkowski-Isomorphismus. Für eine neuere und einfachere SDP, die Q (f) charakterisiert, siehe Reichardts Arbeit von 2010, die zeigt, dass die Gegenmethode mit negativem Gewicht optimal ist.
Ein weiterer wichtiger Fall, in dem dieser Trick ausgenutzt wurde, sind quanteninteraktive Beweissysteme. Während es nicht intuitiv offensichtlich ist, haben Kitaev und Watrous im Jahr 2000 bewiesen, dass QIP ⊆ EXP. durch Reduzieren des Problems der Optimierung über die Einheitsmatrizen mit Exponentialgröße, die in einem interaktiven 3-Runden-Quantenbeweissystem entstehen, bis zur Lösung eines SDP mit Einfachexponentialgröße (wieder denke ich, unter Verwendung des Choi-Jamiolkowski-Isomorphismus zwischen gemischten Zuständen und einheitliche Matrizen). Der jüngste Durchbruch bei QIP = PSPACE ist darauf zurückzuführen, dass gezeigt wurde, dass dieser bestimmte SDP in NC (dh durch logarithmische Schaltungen) noch besser gelöst werden kann.
Unabhängig von Ihrem spezifischen Optimierungsproblem, das die einheitliche Gruppe betrifft, kann es vermutlich schneller gelöst werden, als Sie denken - wenn auch nicht auf eine noch einfachere Weise, dann durch Reduzierung auf SDP!
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Die Bestimmung, ob zwei Hadamard-Matrizen äquivalent sind, ist ein vollständiges Problem des Graph-Isomorphismus (GI). Brendon McKay hat einen Artikel zu diesem Thema. Siehe BD McKay, Hadamard-Äquivalenz über Graphisomorphismus, Discrete Mathematics, 27 (1979) 213-216.
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