Eine ausgewogene Verallgemeinerung des Satzes von Hall

Lassen und - Sets sein und eine Partition sein . Ich möchte beweisen, dass es eine Verteilung über deren Rand über einheitlich ist , und dass die durch induzierte Verteilung über eine große Entropie aufweist (die Die letztere Verteilung wird definiert, indem jedem die Gesamtwahrscheinlichkeitsmasse der Elemente von unter . Wir können die folgende Bedingung verwenden:$X$$Y$$\mathcal{B}$$X \times Y$$\mathcal{D}$$X \times Y$$X$$\mathcal{B}$$\mathcal{D}$$B∈\mathcal{B}$$B$$\mathcal{D}$

Betrachten Sie den zweigeteilten Graphen dessen Seiten und , so dass für jedes eine Kante in G vorhanden ist (mehrere Kanten möglich). Dann hat jeder Satz von x eine Größe von mindestens 3$G$$X$$\mathcal{B}$$(x,y) \in B$$(x,B)$$G$$x$hat mindestens$\frac{3}{4}|X|$Nachbarn in G.$\frac{1}{100}|B|$

Ich würde es begrüßen, wenn mich jemand auf einen relevanten Satz verweisen könnte. Diese Frage kann in gewissem Sinne als eine Verallgemeinerung des Satzes von Hall angesehen werden, bei der die obige Bedingung eine Relaxationsbedingung von Hall ist und bei der wir anstelle einer perfekten Übereinstimmung eine Reihe von Kanten erhalten, deren entsprechender Teilgraph ungefähr regelmäßig ist.

Hintergrund : Die Motivation für diese Fragen liegt in der Komplexität der Kommunikation. In der Einstellung der Kommunikationskomplexität erhalten zwei Spieler, Alice und Bob, Eingaben bzw. y und interagieren, um eine Funktion f ( x , y ) zu berechnen . Hier besteht jede Menge B ∈ B aus Paaren ( x , y ) , die das gleiche Transkript der Kommunikation zwischen Alice und Bob ergeben, und ich möchte beweisen, dass man unter bestimmten Bedingungen eine Verteilung über X × $x$$y$$f(x,y)$$B \in \mathcal{B}$$(x,y)$$X \times Y$ so dass Alice eine gleichmäßig verteilte Eingabe erhält und die Entropie des Transkripts unter der Verteilung groß ist.

Sie könnten sich mit dem Konzept der Faktoren und insbesondere mit Tuttes Theorem über die Existenz von f- Faktoren befassen. Möglicherweise finden Sie Satz 2 dieses Dokuments relevant.$f$$f$