Unterscheidung zwischen

Gegeben ist ein Quantenzustand , der gleichmäßig zufällig aus einer Menge von N gemischten Zuständen ρ 1 ausgewählt wird . . . ρ N , wie hoch ist die maximale durchschnittliche Wahrscheinlichkeit, A korrekt zu identifizieren ?$\rho_A$$N$$\rho_1 ... \rho_N$$A$

Dieses Problem kann in ein Zwei-Zustands-Unterscheidbarkeitsproblem umgewandelt werden, indem das Problem der Unterscheidung von von ρ B = $\rho_A$.$\rho_{B} = \frac{1}{N-1}\sum_{i\neq A}\rho_i$

Ich weiß, dass das Problem für zwei Quantenzustände eine gute Lösung in Bezug auf den Spurenabstand zwischen den Zuständen hat, wenn Sie die maximale Fehlerwahrscheinlichkeit minimieren und nicht die durchschnittliche Fehlerwahrscheinlichkeit minimieren, und ich hatte gehofft, dass es etwas Ähnliches geben könnte dieser Fall. Es ist natürlich möglich, die Wahrscheinlichkeit in Form einer Optimierung über POVMs zu schreiben, aber ich hoffe auf etwas, bei dem die Optimierung bereits durchgeführt wurde.

Ich weiß, dass es eine große Literatur zur Unterscheidbarkeit von Quantenzuständen gibt, und ich habe in den letzten Tagen viele Artikel gelesen, um die Antwort auf diese Frage zu finden, aber ich habe Probleme, die Antwort darauf zu finden besondere Variation des Problems. Ich hoffe, dass jemand, der diese Literatur besser kennt, mir Zeit sparen kann.

Genau genommen brauche ich nicht die genaue Wahrscheinlichkeit, eine gute Obergrenze würde reichen. Der Unterschied zwischen einem Zustand und dem maximal gemischten Zustand ist jedoch ziemlich gering, so dass die Grenze in dieser Grenze nützlich sein müsste.

Wie Sie bereits erwähnt haben, ist es möglich, die optimale durchschnittliche Erfolgswahrscheinlichkeit numerisch zu bestimmen, was effizient über semidefinite Programmierung erfolgen kann (siehe z. B. dieses Papier von Eldar, Megretski und Verghese oder diese Vorlesungsunterlagen von John Watrous), aber es gibt keinen Ausdruck in geschlossener Form bekannt.

Es gibt jedoch mehrere bekannte Ober- und Untergrenzen für die Fehlerwahrscheinlichkeit (dh 1 minus der durchschnittlichen Erfolgswahrscheinlichkeit). In Bezug auf paarweise Wiedergabetreue ist bekannt, dass die Fehlerwahrscheinlichkeit in Ihrer Einstellung durch niedriger begrenzt ist$\frac{1}{N^2} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)$$\frac{2}{N} \sum_{i>j} F(\rho_i,\rho_j)^{1/2}$

$\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{N(N-1)} \sum_{i>j} tr|\rho_i-\rho_j|)$$N=2$